Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора (Санчес) - страница 54

Структура квинтового круга представляет собой комбинацию двенадцати квинт, которые в результате приходят к ноте, почти идентичной начальной, но через семь октав, как это показано на клавиатуре.

Эта разница в «почти», проявляющаяся на расстоянии семи октав, и называется пифагоровой коммой. Можно вычислить ее значение СР, приняв за отправной пункт частоту ƒ и сравнив цепочки из двенадцати квинт и из семи октав:

CR = ƒ · (3/2)12/(ƒ · 27 ) = 1, 013643265.

Таким образом, разница составляет более 1 % октавы, или почти четверть тона. Эта разница возникает потому, что дробь, которой выражается квинта, несовместима с октавой, что можно легко доказать. Можно выяснить, существуют ли такие значения х и у, которые позволяли бы увязать эти дроби:

(3/2)^>x = 2^>y => 3^>x/2^>x = 2^>y => 3^>x = 2^>x+y.

Как видим, необходимо найти число, которое было бы одновременно некоторой степенью 2 и 3. Но так как 2 и 3 — простые, существование такого числа противоречило бы фундаментальной теореме арифметики, согласно которой любое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде произведения простых чисел. Эта теорема, сформулированная еще Евклидом, была доказана математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855). Исходя из нее можно утверждать, что интервалы, сложенные из квинт и из октав, никогда не сойдутся, то есть существование хроматического звукоряда без пифагоровой коммы невозможно.

Греки называли ноты первыми буквами ионийского алфавита, присвоив отдельную букву каждому полутону и каждому звуку, повышенному на октаву. Наше фа обозначалось как а, повышенное фа — как β (бета), фа, повышенное на две ступени, — γ (гамма).

Пифагор не только был очарован мистикой натуральных чисел, на него большое влияние оказали открытия, связанные со средним арифметическим, средним геометрическим и средним гармоническим, что можно увидеть на схеме справа. Таким образом, 3:4 — это среднее арифметическое 1 и 1/2:

1 - 3/4 = 3/4 - 1/2.

а 2:3 — среднее гармоническое 1 и 1/2:

(1 - 2/3)/1 = (2/3 - 1/2)/(1/2).

Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин 1:2 и 2:3 (среднее гармоническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое 1 и 1/2) производят приятные звуки, и из этого факта вывел звукоряд, о котором мы уже говорили. Назвал он эти интервалы диапазон, диапенте и диатессарон, а сегодня они известны как октава, квинта и кварта. Можно заметить отсутствие здесь среднего геометрического: возможно, Пифагор отказался от него, потому что столкнулся с проблемой высшего порядка, и весьма серьезной, как мы покажем дальше. Операция со средним геометрическим приводит к появлению несоизмеримых чисел и в точности соответствует повышенному фа хроматического ряда.