Эта процедура бесконечного спуска никогда не завершится, и, соответственно, невозможно найти наибольшую общую величину для диагоналей и сторон правильного пятиугольника, следовательно, взаимно несоизмеримые отрезки существуют.
Некоторые исследования показывают, что доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата относится к более позднему времени, чем эпоха пифагорейцев, так как оно более изощренное, чем метод бесконечного спуска. Квадрат с его диагоналями лишь потом позволили констатировать наблюдение, уже замеченное в других примерах, таких как пентаграмма.
НЕСОИЗМЕРИМЫЙ ЕВКЛИД
В книге X «Начал» Евклид берется за задачу классификации иррациональных чисел по типам: в этом тексте содержится 115 предложений, хотя наиболее древние издания добавляют к ним предложения 116 и 117. Это последнее представляет доказательство иррациональности на основе теоремы о четных и нечетных числах с применением теоремы Пифагора, где оно излагается так же, как и в наше время во многих книгах на эту тему.
По словам Евклида, согласно теореме Пифагора, в равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату каждого из катетов. Если длину катета считать за 1, какой будет длина гипотенузы?
Предположим, что ее длина составляет т/п метров:
m2/n2 = 2
Предположим m и n не имеют общего делителя и делятся друг на друга, тогда m или n должно быть нечетным. Так как m>2 = 2n>2, то m>2 четное и, следовательно, m тоже четное, то есть n — нечетное. Таким образом, мы можем подставить m = 2p. Следовательно, 4p>2 = 2n>2; из этого выводится, что n>2 = 2p>2, и значит, n четное. Выходит, что никакая дробь вида m/n не может выражать длину гипотенузы. Это соображение подчеркивает, что при любой единице измерения есть такие длины, которые не могут быть выражены числовым соотношением на основе этой единицы, в том смысле что не существует таких целых чисел тип, чтобы взятая т раз длина совпадала с взятой п раз единицей измерения. Метод Евклида используется и сегодня для доказательства иррациональности √2, однако ученые склонны считать, что он был добавлен в текст «Начал» значительно позже. В современных изданиях Евклида этот метод обычно опускается, и книга X оканчивается предложением 115.
Как мы уже говорили, введение иррациональных чисел определило независимость геометрии от арифметики. В книге II «Начал» Евклид геометрическим методом доказывает многие вещи, которые сегодня доказываются алгебраически, к примеру (a + b)>2 = a>2 + 2ab + b>2. К этому его вынуждала проблема несоизмеримых величин, и пока не была найдена арифметическая теория, пригодная для операции с подобными числами, геометрический метод Евклида оставался для этого наиболее удобным.