Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора (Санчес) - страница 64
√2 был первым открытым иррациональным числом, научным успехом величайшей важности, который на века определил задачи математики в области вещественных чисел. Хотя история Гиппаса, по-видимому, показывает нам величественную картину краха пифагорейской Вселенной, найти √2 несложно — сложно понять, что с ним делать. Чтобы обнаружить его, достаточно нарисовать на листе квадрат, как это сделано на рисунке 1. Главный квадрат делится на четыре маленьких со стороной 1, а затем проводятся их диагонали. Таким образом мы получаем внутренний квадрат с площадью 2, который занимает половину квадрата со стороной 2. Сторона этого внутреннего квадрата, умноженная на себя, будет равна 2. Таким образом, мы получили квадратный корень из двух, или, в современной нотации, √2. Нарисовав эту фигуру на бумаге, уже невозможно смотреть на месопотамскую табличку, хранящуюся в Йельском университете под номером YBC 7289, без некоторого изумления. Эта находка датируется периодом между 1800 и 1600 годом до н.э. и на ней изображен квадрат с двумя диагоналями, которые с легкостью позволяют найти √2. Рисунок сопровождается семью цифрами, нацарапанными клинописью по вавилонской шестидесятеричной системе. Исследователи утверждают, что эти числа соответствуют приближению √2 в первых знаках после запятой:
1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1, 41421296.
РИС. 1
Как можно увидеть на этой фотографии, исследователи смогли расшифровать клинопись на табличке YBC 7289, хранящейся в Йельском университете.
В индийском трактате «Сульвасутра» значительно более позднего времени (между 800 и 200 годом до н.э.) также можно узнать, что квадрат со стороной 1 и его диагональ не могут быть соизмеримыми. Историки математики интерпретируют следующие слова из книги как приближение √2: «...длина стороны увеличивается на треть, а эта треть на ее четвертую часть, и из этого вычитается тридцать четвертая часть этой четверти». Числовое выражение этой формулы будет таким:
√2 = 1 + 1/3 + 1/(3 · 4) - 1/(3 · 4 · 34) = 577/408 = 1, 414215686.
И все-таки, хотя подобные свидетельства весьма впечатляют, вавилоняне, индийцы и, конечно, египтяне использовали дроби исключительно в практических целях, и это положение не изменилось до развития греческой математики. Вавилоняне не знали, что их шестидесятеричные приближения никогда не будут вполне точными, так же как и египтяне не могли понять саму суть иррациональных чисел. Вопреки намерениям пифагорейцев, их заслуга состояла в открытии, что несоизмеримые соотношения — это нечто совершенно отличное от соизмеримых. Теория пропорций для несоизмеримых соотношений и для любых типов величин была впоследствии выдвинута Евдоксом Книдским (ок. 408-355 до н.э.), философом, математиком и врачом, который был учеником Платона (ок. 427-347 до н.э.).