Диалоги о математике (Реньи) - страница 32

Гиерон. Мне кажется, я начинаю понимать, что именно ты имеешь в виду под математической моделью. Вернемся к примеру с лошадьми. Искусство запрягать лошадей и править ими — это совершенно не то, что разводить лошадей. Не является ли искусство прикладной математики чем-то совершенно отличным от открытия и доказательства теорем?

Архимед. Ты, конечно, прав, хотя человек, который выращивает лошадей, обычно знает о них все и может управлять ими лучше, чем кто-либо другой. Что касается математики, то я подчеркнул раньше: для успешного применения нужно глубокое понимание ее, и если кто-то хочет применить математику к новым объектам, он должен быть творческим математиком. И наоборот, интерес к применениям может помочь в чисто математических исследованиях.

Гиерон. Как это возможно? Не приведешь ли ты какой-нибудь пример?

Архимед. Вероятно, ты помнишь, что одно время я очень интересовался механикой, а более точно — нахождением центров тяжести тел. Результаты, которые я получил, помогли мне не только построить механизмы, но и доказать новые геометрические теоремы. Я разработал специальный метод исследования геометрических задач с помощью механики и использования центров тяжести фигур. Метод эвристический — не дающий точного доказательства, но благодаря ему многие теоремы становились мне ясны. Конечно, позднее теоремы, открытые посредством моего механического метода, я строго доказывал традиционными методами геометрии. Найти доказательство значительно легче, если предварительно уже получены некоторые сведения из механических аналогий и, таким образом, известно, что должно быть доказано.

Гиерон. Укажи мне какую-нибудь теорему, которую ты нашел таким странным путем.

Архимед. Площадь любого сегмента параболы равна четырем третям площади треугольника, который имеет то же основание и ту же высоту. После обнаружения результата я доказал его с помощью традиционных методов.

Гиерон. Если ты установил эти теоремы с помощью механики, зачем тебе нужно еще геометрическое доказательство?

Архимед. Когда я открыл мой метод, результаты, полученные с его помощью, были не совсем точны; позднее, анализируя случаи, когда этот метод вводил меня в заблуждение, я настолько развил его, что теперь он никогда не подводит меня. Но я еще не уверен до конца, что результаты, полученные таким путем, действительно верны. Может быть, однажды кто-нибудь докажет это. Но до сих пор я не имею полной уверенности в методе.

Гиерон. Но разве в прикладной математике так уж необходимы строгие доказательства? Ты сказал, что математическая модель — это только приближение к действительности. Если ты используешь приблизительно точную формулу, твои результаты будут все так же приблизительны, и, во всяком случае, они никогда не могут быть абсолютно точными.