Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 14

2.2. Запишем данное число n в виде 100n_>1 + n_>0, где n_>0 - двузначное число, образованное двумя последними цифрами числа n. Так как число 100n_>1 делится на 25, то остаток от деления числа n на 25 равен остатку от деления на 25 числа n_>0. Следовательно, число n делится на 25 в том и только в том случае, если остаток от деления числа n_>0 на 25 равен 0, т. е. если две последние цифры числа n образуют одну из четырех комбинаций 00, 25, 50 или 75.

2.3. Число n делится на 5^>k в том и только в том случае, если на 5^>k делится число n_>0, полученное из числа n отбрасыванием всех его цифр, кроме k последних. Действительно, запишем число n в виде 10^>kn_>1 + n_>0. Тогда число 10^>kn_>1 делится на 5^>k, а значит, остатки от деления чисел n и n_>0 на 5^>k совпадают и, стало быть, могут равняться 0 только временно.

2.4. Число n делится на 2^>k в том и только в том случае, если на 2^>k делится число n_>0, полученное из числа n отбрасыванием всех его цифр, кроме к последних. Данное утверждение следует из представления числа n в виде 10^>kn_>1 + n_>0 и того факта, что число 10^>kn_>1 делится на 2^>k.

2.5. Проще всего в данном двузначном числе выделить наибольшее возможное четное число десятков (ведь любое число, кратное 20, кратно и 4), в результате чего останется число, меньшее 20, для которого проверка делимости на 4 уже не представляет труда. Например, число 76 = 60 + 16 делится на 4, а число 94 = 80 + 14 не делится.

2.6. Заметим, что любое четное число сотен делится на 8, а нечетное дает при делении на 8 остаток 4 и недостаток - 4. Поэтому, отбросив цифру сотен данного трехзначного числа, достаточно проверить, делится ли на 8 оставшееся двузначное число в чистом виде, если цифра сотен была четной, либо предварительно увеличенное или уменьшенное на 4, если цифра сотен была нечетной. Кроме того, для упрощения проверки делимости на 8 двузначного числа можно выделить в нем наибольшее возможное число десятков, кратное 4, в результате чего останется число, меньшее 40, для которого проверка делимости на 8 уже не представляет труда. Например, число 692 не делится на 8, так как 92 = 80 + 12 не делится на 8, а число 568 делится на 8, так как 68 - 4 = 64 делится на 8.

2.7. Пусть данное число n имеет вид

Поскольку

В полученном представлении числа n первое выражение делится как на 3, так и на 9, поэтому остатки от деления числа n и суммы всех его цифр n_>k + n_>k-1 + ... + n_>1 + n_>0 как на 3, так и на 9 совпадают.

2.8. Для упрощения проверки делимости суммы цифр данного числа на 3 можно заменять цифры их остатками или недостатками от деления на 3. Например, сумма цифр числа 2 795 438 дает тот же остаток при делении на 3, что и сумма