Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 15

2.9. Для упрощения проверки делимости суммы цифр данного числа на 9 можно отбрасывать те цифры, которые в сумме дают 9 или 18. Например, сумма цифр числа 7 543 782 861 дает тот же остаток при делении на 9, что и число 6, поскольку сумма всех остальных цифр (7 + 2) + (5 + 4) + (3 + 7 + 8) + (8 + 1) кратна 9.

2.10. Пусть число m k-значное. Тогда среди чисел от 10^>k+1 до 10^>k+1 + m хотя бы одно число делится на m. Это число имеет вид

, а так как признак делимости на m не зависит от порядка цифр делимого, то числа и также кратны m. Поэтому число m является делителем разности этих чисел, равной 9, а значит, либо m = 3, либо m = 9 (случай m = 1 исключен в условии задачи).

2.11. Описанная в задаче проверка сложения основана на том, что если при подсчете суммы нескольких чисел не было сделано ошибки, то эта сумма должна давать тот же остаток при делении на какое-либо число m, что и сумма остатков от деления слагаемых на m. При этом нахождение остатков от деления на m = 9 по сумме цифр не требует серьезных усилий, что и нашло отражение в предложенном способе. Если складывались числа разного знака, то сумма всех положительных слагаемых должна давать тот же остаток при делении на m, что и сумма всех отрицательных слагаемых вместе с полученным в ответе числом. Для нахождения этих остатков при m = 9 достаточно заменить сами числа суммами их цифр.

2.12. Описанная в задаче проверка умножения основана на том, что если при подсчете произведения нескольких чисел не было сделано ошибки, то это произведение должно давать тот же остаток при делении на m (в задаче взято m = 9), что и произведение остатков от деления сомножителей на m. Проверка деления числа а на число b, в результате которого получены частное q и остаток r, сводится к проверке равенства

a = qb + r,

т. е. двух операций сразу: умножения и сложения. Это можно сделать, сравнив остатки от деления на m числа а и числа qb + r, в котором каждое из чисел q, b и r можно заменить остатком от деления на m. Если остатки не совпадут, то в вычислениях имеется ошибка.

2.13. Совпадение остатков от деления двух чисел на 9 не дает возможности утверждать равенство самих этих чисел: например, числа 49 и 40 имеют одинаковые остатки, но не совпадают друг с другом. Поэтому описанные в задачах 2.11 и 2.12 способы проверки вычислений не могут дать гарантии от ошибок. Та же пара чисел показывает, что даже в случае правильности всех цифр ответа, кроме, быть может, одной, этих проверок, вообще говоря, не достаточно (исключение составляет случай, когда в ответе нет ни одной цифры 0 и 9, поскольку тогда любое изменение одной цифры ответа влечет за собой изменение его остатка от деления на 9).