Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 25

+ 2*500*20 + 20^>2 + 2*520*3 + 32 = (500 + 20 + 3)^>2, из которого вытекает равенство

В общем же случае алгоритм позволяет представить данное число, являющееся квадратом целого числа, в виде

где числа а_>1, a_>2, ..., a_>n выбираются максимально возможными, кратными соответствующим степеням десяти: 10^>n-1, 10^>n-2, ..., 10^>0, т. е. указывают цифры в соответствующих разрядах десятичной записи корня.

Нахождение корня

по этому алгоритму записывается так:

откуда следует, что искомый корень равен 2874.

3.10. Согласно утверждению задачи 3.3, можно без ограничения общности считать число, из которого требуется извлечь корень, целым и даже сколь угодно большим (если оно положительно), т. е. имеющим больше пар цифр, чем нужно получить знаков в десятичной записи корня. Этого можно достичь временным домножением числа на правильно подобранную четную степень числа 10 и последующим делением значения корня на вдвое меньшую степень числа 10. Если на последнем шагу получается ненулевой остаток, то можно оборвать алгоритм и считать получившийся при этом ответ приближенным значением корня с недостатком (на каждом шагу цифры ответа выбираются максимально возможными, поэтому любая десятичная дробь, превышающая полученную в ответе хотя бы по одному из ее найденных разрядов, будет больше искомого корня). Округлив полученную дробь до предпоследнего разряда, мы найдем нужное число точных знаков корня.

Для нахождения значения с точностью до

произведем следующие действия:

из которых получаем

3.11. Так как

то

Возводя в квадрат обе части равенства

получаем

откуда имеем

что и требовалось доказать.

Для приближенная формула дает значение

с точностью до ^>1/_>64.

3.12. Из преобразований

при n = 0 получаем первую из требуемых оценок, а при n = 1, 2, ... имеем, что число δ_>n положительно, следовательно,

и

Каждое из чисел

фактически получается с помощью приближенной формулы корня квадратною (см. задачу 3.11) из числа а по грубому приближению х_>n-1 и остатку b. Поэтому предложенный способ представляет собой не что иное, как многократное применение этой формулы.

Для нахождения

возьмем х_>0 = 2 и получим, согласно алгоритму,

Оценим погрешность приближения:

Так как

то

а значит, приближение

сразу гарантирует три верных знака после запятой (а на самом деле даже четыре знака),

3.13. Пусть число х составлено из n первых цифр ответа, а число b равно указанной в условии разности (полученной на последнем шаге алгоритма задачи 3.9). Тогда без ограничения общности можно считать, что число х целое (см. задачу 3.3) и x≥10^>n-1, а искомый корень равен х + 8 и δ<1. Погрешность приближения