Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 38

16x' + 17y' + 40z' = 67.

Аналогичные рассуждения показывают, что y'≠0 и х'≠0, т. е. числа х" = х' - 1 и y" = y' - 1 должны удовлетворять уравнению

16x" + 17y" + 40z' = 34,

в целых неотрицательных числах, которое имеет единственное решение x" = 0, y" = 2, z' = 0. Таким образом, возвращаясь к исходным неизвестным, мы получаем единственное решение первоначального уравнения x = 2, y = 4, z = 1, т. е. 140 кг гвоздей можно отпустить только с помощью 2 ящиков по 16 кг, 4 ящиков по 17 кг и 1 ящика в 40 кг.

6.6. Если в правой части уравнения

ax + by = c

стоит отрицательное число, то умножим обе части уравнения на -1 и получим уравнение с положительным числом в правой части. Будем считать, что эта операция уже произведена с самого начала. Если коэффициент а отрицателен, то заменим неизвестную x неизвестной x' = -x и получим уравнение

-ax' + by = c

с положительным коэффициентом -а. Аналогично, если b<0, то замена y' = -y приводит к уравнению

ax - by' = c

с положительным коэффициентом -b. Поэтому каждый из коэффициентов а и b соответствующей заменой неизвестной можно сделать положительным. Будем считать, что это уже сделано. Если числа а и b не являются взаимно простыми, то наибольший общий делитель (a, b) = d чисел а и b должен быть делителем числа с (иначе в силу утверждения задачи 6.3 уравнение в целых числах не будет иметь решений). Поэтому имеем a = a'd, b = b'd, c = c'd и, поделив обе части уравнения на d, получаем уравнение

a'x + b'y = c'

с взаимно простыми коэффициентами а' и b'.

6.7. Пусть было использовано x, y и z вагонов вместимостью по 15 т, по 20 т и по 25 т соответственно. Тогда имеем

15x + 20y + 25z= 420, x + y + z = 27,

т. е. числа y и z должны удовлетворять уравнению

15(27 - y - z)+ 20y + 25z = 420

в натуральных числах. Преобразовывая это уравнение, получаем

y + 2z = 3,

т. е. y = z = 1 и x = 25. Итак, было использовано 25 вагонов по 15 т, 1 вагон в 20 т и 1 вагон в 25 т.

6.8. Если пара чисел x, y наряду с парой чисел x_>0, y_>0 удовлетворяет уравнению

ax + by = c

в целых числах с взаимно простыми коэффициентами а и b, то имеем ах + by = с = аx_>0 + by_>0, откуда а(x - x_>0) + b(y - y_>0) = 0. Так как число

x = x_>0 + bk, y = y_>0 + ak.

Мы доказали, что любое решение уравнения задается указанными формулами. С другой стороны, при любом целом значении к имеем

a(x_>0 + bk) + b(y_>0 - ak) = ax_>0 + by_>0 = c,

т. е. ничего кроме решений эти формулы не задают.