Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 39

6.9. Для неизвестных x и y, обозначающих количество мешков по 60 и по 80 кг соответственно, имеем уравнение

60x + 80y = 1000,

или уравнение

3x + 4y = 50

в целых неотрицательных числах. Одно целочисленное решение этого уравнения нетрудно угадать, воспользовавшись равенством

Учитывая формулы общего решения (см. задачу 6.8), получаем все целочисленные решения этого уравнения:

x = -50 +4k, y = 50 - 3k.

Теперь для того, чтобы найти все натуральные решения, наложим ограничения

из которых выведем оценки

Таким образом, полагая последовательно k = 13, 14, 15, 16, найдем все неотрицательные решения:

Наименьшее количество мешков x + y = 13 достигается при первом из найденных решений.

6.10. Задача сводится к решению уравнения

0,7x + 0,9y = 20,5

в целых неотрицательных числах (x и y - количество банок по 0,7 и 0,9 л соответственно). Преобразуем уравнение к виду

7x + 9y = 205,

а затем, делая последовательные замены переменных в левой части, получим равенства

где x + y = u, y + 3u = v. Из этих равенств имеем

Подставляя u = 88, 89, 90, 91, получаем четыре решения:

Наименьшая сумма x + y = 23 достигается при последнем решении, которое, следовательно, требует наименьшего

количества банок.

6.11. Из равенства, сформулированного в п. б) задачи 5.12, при k = n получаем

где

- последняя подходящая дробь к цепной дроби, в которую раскладывается дробь ^>a/_>b. Так как дроби - несократимы (см. задачу 5.9), то P_>n = а, Q_>n = b и

Умножая обе части последнего равенства на (-1)^>n, имеем

т. е. пара чисел

является решением уравнения ax + by = с.

6.12. Обозначая через x и y количества контейнеров по 170 и 190 кг соответственно, получаем после сокращения на 10 уравнение

17x + 19y = 300

в целых неотрицательных числах. Для нахождения частного решения воспользуемся методом задачи 6.11, разложив дробь ^>17/_>19 в цепную дробь

(число n получилось равным 4) и свернув предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную

Итак, частное решение расходного уравнения имеет вид

а общее задается формулой

откуда получаем условия на параметр k

т. е. k = 142, x = 2, y = 14.

6.13. После замены переменной x' = -x (см. задачу 6.6) получаем уравнение

8x' + 13y = 11

в натуральных числах, которое решим методами, предложенными в задачах 6.8 и 6.11: предпоследняя подходящая дробь к цепной дроби

равна

откуда

т. е.

что невозможно. Итак, на прямой 8x - 13y + 11 = 0 нет ни одной точки с целочисленными координатами, удовлетворяющими условиям х<0 и y>0.

6.14. Так как гирьки и банки можно класть на любую чашку весов, то числа x и y (гирек и банок соответственно) удовлетворяют уравнению