Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 40
100x + 450y = 2500
в целых числах (отрицательное значение какой-либо неизвестной означает, что соответствующие предметы лежат на одной чашке с сахарным песком). Приведем уравнение к виду
2x + 9y = 50
и заметим, что числа y>0 = 0, x>0 = 25 дают частное решение. Поэтому общее решение имеет вид (см. задачу 6.8)
x = 25 + 9k, y = -2k.
Докажем, что наименьшее количество гирек и банок, требуемое для взвешивания, равно 8. Действительно, если гирьки и банки лежат на одной чашке весов, то x≥0, y≥0 и -3<->25/>9≤k≤0, причем наименьшая сумма x + y = 25 + 7k = 11 достигается при k = -2. Если гирьки лежат на одной чашке весов, а банки и сахар на другой, то x≥0, y≤0 и k≥0, причем наименьшая сумма x + (-y) = 25 + 11k = 25 достигается при k = 0. Если же банки лежат на одной чашке весов, а гирьки и сахар на другой, то x≤0, y≥0 и k≤->25/>9<-2, причем наименьшая сумма (-x) + y = -25 - 11k = 8 достигается при k = -3. Таким образом, продавец должен на одну чашку весов положить 6 банок, а на другую - 2 гирьки и взвешиваемый сахар. Весы уравновесятся, если сахара будет 2,5 кг.
§ 7. Пифагоровы тройки
Важный пример диофантова уравнения дает теорема Пифагора, связывающая длины x и y катетов прямоугольного треугольника с длиной z его гипотенузы:
x>2 + y>2 = z>2.
Вы, конечно, встречали одно из замечательных решений этого уравнения в натуральных числах, а именно пифагорову тройку чисел x = 3, y = 4, z = 5. Есть ли еще такие тройки?
Оказывается пифагоровых троек бесконечно много и все они давным-давно найдены. Они могут быть получены по известным формулам, о которых вы узнаете из настоящего параграфа.
Если диофантовы уравнения первой и второй степени уже решены, то вопрос о решении уравнений более высоких степеней до сих пор остается открытым, несмотря на усилия крупнейших математиков. В настоящее время, например, еще окончательно не доказана и не опровергнута знаменитая гипотеза Ферма о том, что при любом целом значении n 2 уравнение
x>n + y>n = z>n.
в целых числах не имеет решений.
Для решения некоторых типов диофантовых уравнений полезную роль могут сыграть так называемые комплексные числа. Что это такое? Пусть буквой i обозначен некий объект, удовлетворяющий условию i>2 = -1 (понятно, что ни одно действительное число этому условию не удовлетворяет). Рассмотрим выражения вида α + iβ, где α и β - действительные числа. Такие выражения будем называть комплексными числами, определив над ними операции сложения и умножения, как и над двучленами, но с той лишь разницей, что выражение i>2 всюду будем заменять числом -1: