Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 41
7.1. Из одной тройки много Докажите, что если x>0, y>0, z>0 - пифагорова тройка, то тройки y>0, x>0, z>0 и x>0k, y>0k, z>0k при любом значении натурального параметра k также являются пифагоровыми.
7.2. Частные формулы Проверьте, что при любых натуральных значениях m>n тройка вида
2mn, m>2 - n>2, m>2 + n>2
является пифагоровой. Всякую ли пифагорову тройку x, y, z можно представить в таком виде, если разрешить переставлять местами числа x и y в тройке?
7.3. Несократимые тройки Пифагорову тройку чисел, не имеющих общего делителя, большего 1, будем называть несократимой. Докажите, что пифагорова тройка является несократимой только в случае, если любые два из чисел тройки являются взаимно простыми.
7.4. Свойство несократимых троек Докажите, что в любой несократимой пифагоровой тройке x, y, z число z и ровно одно из чисел x или y являются нечетными.
7.5. Все несократимые тройки Докажите, что тройка чисел x, y, z является несократимой пифагоровой тройкой тогда и только тогда, когда она с точностью до порядка первых двух чисел совпадает с тройкой 2mn, m>2 - n>2, m>2 + n>2, где m>n - взаимно простые натуральные числа разной четности.
7.6. Общие формулы Докажите, что все решения уравнения
x>2 + y>2 = z>2.
в натуральных числах задаются с точностью до порядка неизвестных x и y формулами
x = 2mnk, y = (m>2 - n>2)k, z = (m>2 + n>2)k,
где m>n и k - натуральные параметры (чтобы исключить дублирование каких-либо троек, достаточно выбирать числа тип взаимно простыми и к тому же разной четности).
7.7. Первые 10 троек Найдите все пифагоровы тройки x, y, z, удовлетворяющие условию x
7.8. Свойства пифагоровых троек Докажите, что для любой пифагоровой тройки x, y, z справедливы утверждения:
а) хотя бы одно из чисел x или y кратно 3;
б) хотя бы одно из чисел x или y кратно 4;
в) хотя бы одно из чисел x, y или z кратно 5.
7.9. Применение комплексных чисел Модулем комплексного числа α + iβ называется неотрицательное число
Проверьте, что для любых комплексных чисел α + iβ и γ + iδ выполняется свойство
Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей, докажите, что любые два целых числа m и n удовлетворяют равенству
(m>2 + n>2)>2 = (m>2 - n>2)>2 + (2mn)>2,
т. е. задают решение уравнения
x>2 + y>2 = z>2.
целых числах (сравните с задачей 7.5).
7.10. Непифагоровы тройки Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей (см. задачу 7.9), найдите формулы для каких-либо целочисленных решений уравнения:
а) x>2 + y>2 = z>3; б) x>2 + y>2 = z>4.
Решения
7.1. Если x>0>2 + y>0>2 = z>0>2, то y>0>2 + x>0>2 = z>0>2, и при любом натуральном значении k имеем
(x>0k)>2 + (y