Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 42

k)^>2 = (x_>0^>2 + y_>0^>2)k^>2 = z_>0^>2k^>2 = (z_>0k)^>2,

что и требовалось доказать.

7.2. Из равенств

(m^>2 + n^>2)^>2 = m^>4 + 2m^>2n^>2 + n^>4 = (m^>4 - 2m^>2n^>2 + n^>4) + 4m^>2n^>2 = (m^>2 - n^>2)^>2 + (2mn)^>2

заключаем, что указанная в задаче тройка удовлетворяет уравнению x^>2 + y^>2 = z^>2 в натуральных числах. Однако не всякую пифагорову тройку x, y, z можно представить в таком виде; например, тройка 9, 12, 15 является пифагоровой, но число 15 не представимо в виде суммы квадратов каких-либо двух натуральных чисел m и n.

7.3. Если какие-то два числа из пифагоровой тройки x, y, z имеют общий делитель d, то он будет делителем и третьего числа (так, в случае x = x_>1d, y = y_>1d имеем z^>2 = x^>2 + y^>2 = (x_>1^>2 + y_>1^>2)d^>2, откуда z^>2 делится на d^>2 и z делится на d). Поэтому для несократимости пифагоровой тройки необходимо, чтобы любые два из чисел тройки были взаимно простыми,

7.4. Заметим, что одно из чисел x или y, скажем x, несократимой пифагоровой тройки x, y, z является нечетным, так как в противном случае числа x и y не были бы взаимно простыми (см. задачу 7.3). Если при этом другое число y также нечетно, то оба числа

x^>2 = (2a + 1)^>2 = 4a^>2 +4a +1 и y^>2 = (2b + 1)^>2 = 4b^>2 +4b +1

дают остаток 1 при делении на 4, а число z^>2 = x^>2 + y^>2 дает при делении на 4 остаток 2, т. е. оно делится на 2, но не делится на 4, чего не может быть. Таким образом, число y должно быть четным, а число z, стало быть, нечетным.

7.5. Пусть пифагорова тройка x, y, z несократима и, для определенности, число x четно, а числа y, z нечетны (см. задачу 7.4). Тогда

x^>2 = z^>2 - y^>2 = (z + y)(z-y) = (2a)(2b),

где числа

являются целыми. Докажем, что числа а и b взаимно просты. В самом деле, если бы они имели общий делитель, больший 1, то такой же делитель имели бы и числа z = a + b, y = a - b, т. е. тройка не была бы несократимой (см. задачу 7.3). Теперь, раскладывая числа а и b в произведения простых множителей, замечаем, что любой простой множитель должен входить в произведение 4ab = x^>2 только в четной степени, причем если он входит в разложение числа а, то не входит в разложение числа b и наоборот. Поэтому любой простой множитель входит в разложение числа а или b в отдельности только в четной степени, а, значит, сами эти числа являются квадратами целых чисел. Положим тогда получим равенства

x^>2 = 4m^>2n^>2, x = 2mn,

z = a + b = m^>2 + n^>2, y = a - b = m^>2 - n^>2,

причем натуральные параметры m>n взаимно просты (вследствие взаимной простоты чисел а и b) и имеют разную четность (из-за нечетности числа z = m^>2 + n^>2).

Пусть теперь натуральные числа m>n разной четности являются взаимно простыми. Тогда тройка