Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 49

а) жидкость переливается из первого стакана во второй, и тогда, конечно, в первом стакане кофе останется не меньше, чем молока;

б) жидкость переливается из второго стакана в первый, а тогда перед переливанием во втором стакане кофе было не больше, чем молока (ведь общее количество кофе равно общему количеству молока), что сохранится и после переливания, а, значит, в первом стакане кофе снова станет не меньше, чем молока.

Таким образом, в любом случае, после любого количества переливаний в первом стакане молока не может оказаться больше, чем кофе.

8.16. Предположим, что на стенках колбы всегда остается одно и то же количество жидкости, равное а. Тогда если влить в колбу сразу всю воду в количестве b, то концентрация реактива в полученной от перемешивания смеси будет равна

а на стенках колбы после полоскания останется реактив в количестве
Если же влить в колбу воды, то концентрация реактива будет равна
а после полоскания на стенках останется
реактива. Аналогично подсчитавается, что после следующего полоскания колбы оставшимся количеством
воды останется реактив в количестве


Это меньше, чем в первом из рассмотренных случаев, поскольку


Итак, выгоднее полоскать два раза меньшим количеством воды, чем один раз большим.

8.17. После первого разбавления из кастрюли будет отлит 1 л сиропа, а его концентрация станет равна 0,9.

После второго разбавления из кастрюли будет отлита десятая часть оставшегося сиропа, концентрация которого станет равна 0,9>2. Вообще, после очередного n-го разбавления опять будет отлита десятая часть сиропа, а его концентрация станет равна 0,9>n. Ни при каком натуральном значении n не будет выполнено равенство


так как иначе при том же значении n было бы справедливо и равенство


в котором левая часть кратна 3, а правая нет. Заметим, однако, что хотя точное равенство невозможно, но тем не менее после достаточно большого количества переливаний сироп обязательно окажется разбавленным по меньшей мере в два раза. В данном случае этот момент впервые наступит после седьмого разбавления, поскольку справедливы оценки


8.18. Если баллон с давлением p>1 подсоединить к баллону с давлением p>2, то в обоих баллонах давление станет равным


Если затем первый баллон подсоединить к баллону с давлением p>3, то в них обоих давление станет равным


Продолжая это рассуждение и далее, мы получим, что если затем последовательно подсоединить первый баллон к баллонам с давлением p>4, p>5, ..., p>n, то в итоге давление в первом баллоне станет равным


Анализируя эту сумму, можно заметить, что наибольший вклад в нее дает величина p