На рис. 1, б приведена запись умножения чисел 345 и 578, в которой действия произведены в необычном порядке. Сначала перемножены цифры единиц и в первой строке записан результат 40. Затем перемножены последовательно такие пары цифр, которые дают число десятков произведения,- это пары 4, 8 и 5, 7 - и записаны результаты 32 и 35. Далее перемножены пары цифр, дающие число сотен, произведения, и т. д.
Наиболее труден для расшифровки, видимо, рис. 1, в, который отличается от предыдущего только тем, что в нем сложены и записаны в соответствующих местах числа единиц, десятков, сотен и т. д., полученные при умножении чисел 345 и 578. В первой строке под чертой записаны справа налево двузначное число единиц 40, затем двузначное число сотен 24 + 28 + 25 = 77 (заметьте, что именно сотен, а не десятков - в противном случае произошло бы неизбежное "наложение" одних чисел на другие, что повлекло бы за собой дополнительные трудности) и, наконец, двузначное число десятков тысяч 15. В следующей строке записаны аналогично двузначное число десятков 32+35=67 и двузначное число тысяч 21 + 20 = 41.
1.4. Пусть на левой руке загнуто a пальцев, а на правой - b пальцев. Тогда сами сомножители равны 5+a и 5+b соответственно, а их произведение равно
(5+a) (5+b) = 25+5а+5b+ab = 10а+10b+(25-5а-5b+ab) = 10 (а+b) + (5-а) (5-b), где 5-а и 5-b - как раз количества незагнутых пальцев на левой и правой руке соответственно. Таким образом, предложенный способ умножения на пальцах дает верный результат.
1.5. При умножении однозначного числа а на 9 предложенным способом мы получаем, что слева от а-го (поднятого) пальца находится а - 1 пальцев, а справа 10 - а пальцев, т. е. искомое произведение равно
10 (а - 1) + (10 - а) = 10а - 10 + 10 - а = 9а, что и требовалось объяснить.
1.6. Так как 9а = 10а-а, то для умножения числа а на 9 достаточно от увеличенного в 10 раз числа а отнять само число а. Например, при а = 437 имеем
437*9 = 4370-437 = 3933. Аналогично вместо умножения числа а на 99 или на 999 можно умножить его на 100 или на 1000 соответственно, а потом отнять само число а, например,
437*99 = 43 700 - 437 = 43 363, 437*999 = 437 000 - 437 = 436 563. В общем случае умножения на числа, близкие к степени десятки, поступаем аналогично, например,
437*997 = 437(1000-3) = 437 000 - 1311 = 435 689. 1.7. Так как
63 475 = 634*100 + 75 = 634*99 + 634 + 75 = 634*99 + 6*100 + 34 + 75 = 634*99 + 6*99 + 6 + 34 + 75 = 640*99 + 115 = 641*99 + 16, то частное от деления данного числа на 99 равно 641, а остаток 16. Так как