15.1. Если все я сторон вписанного я-угольника стягивают равные дуги окружности, то сами стороны равны между собой. Кроме того, в этом случае каждый из углов между соседними сторонами n-угольника является вписанным и опирается на дугу, составленную из n-2 упомянутых одинаковых дуг. Следовательно, все эти углы также равны между собой. Таким образом, задача построения вписанного правильного n-угольника сведена к делению окружности на я равных дур.
Если под рукой имеется транспортир, то с его помощью 360° можно начертить центральный угол, равный
. Отложив один такой угол от какого-нибудь радиуса OA
>1, мы получим радиус ОА
>2. Отложив от него еще один такой же угол, мы получим следующий радиус OA
>3 и т. д. Точки
A>1, A>2, ..., A>n будут делить окружность на n частей, а уж в какой степени эти части окажутся равными, будет зависеть от точности, с которой откладывались требуемые центральные углы.
При отсутствии транспортира можно применить следующий способ приближенного деления окружности на заданное число n равных частей с помощью циркуля. Выберем раствор циркуля на глаз таким, чтобы он примерно соответствовал расстоянию между соседними вершинами будущего n-угольника, и отложим от любой точки А>6 на окружности n растворов циркуля в определенном направлении, получив последовательно точки A>1, A>2, ..., A>n. Если точки A>0 и А>n практически совпадают, то раствор циркуля выбран нами уже достаточно точно. Если же эти точки сколь-нибудь заметно различаются, то дугу A>0A>n разделим на n примерно равных частей и отметим ту точку деления A>0, которая расположена ближе всего к точке A>0 (рис. 49). Подправим раствор циркуля так, чтобы он соответствовал расстоянию между точками A'>0 и A'>1, и повторим все сначала, отложив n растворов циркуля от точки A'>0 и получив точки A'>1, A'>2, ..., A'>n. Сравнив точки A'>0 и A'>n, мы опять выясним, достаточно ли точным оказался раствор циркуля. Если еще нет, то подправим его еще раз и т. д. до тех пор, пока нужная точность не будет достигнута.

Рис. 49
15.2. Пусть A>1, A>2, ..., A>km - последовательные вершины исходного многоугольника. Тогда многоугольник с вершинами A>1, A>2, ..., A>km будет правильным, поскольку эти вершины лежат на одной окружности (описанной около исходного многоугольника) и делят ее на равные дуги.
15.3. Проведем к каждой стороне данного многоугольника свой серединный перпендикуляр до его пересечения о дугой окружности, стягиваемой этой стороной. Так как полученные точки пересечения разделят каждую из дуг на две равные части, то эти точки вместе с вершинами исходного многоугольника образуют вершины требуемого многоугольника.