Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 84

15.1. Если все я сторон вписанного я-угольника стягивают равные дуги окружности, то сами стороны равны между собой. Кроме того, в этом случае каждый из углов между соседними сторонами n-угольника является вписанным и опирается на дугу, составленную из n-2 упомянутых одинаковых дуг. Следовательно, все эти углы также равны между собой. Таким образом, задача построения вписанного правильного n-угольника сведена к делению окружности на я равных дур.

Если под рукой имеется транспортир, то с его помощью 360° можно начертить центральный угол, равный

. Отложив один такой угол от какого-нибудь радиуса OA_>1, мы получим радиус ОА_>2. Отложив от него еще один такой же угол, мы получим следующий радиус OA_>3 и т. д. Точки A_>1, A_>2, ..., A_>n будут делить окружность на n частей, а уж в какой степени эти части окажутся равными, будет зависеть от точности, с которой откладывались требуемые центральные углы.

При отсутствии транспортира можно применить следующий способ приближенного деления окружности на заданное число n равных частей с помощью циркуля. Выберем раствор циркуля на глаз таким, чтобы он примерно соответствовал расстоянию между соседними вершинами будущего n-угольника, и отложим от любой точки А_>6 на окружности n растворов циркуля в определенном направлении, получив последовательно точки A_>1, A_>2, ..., A_>n. Если точки A_>0 и А_>n практически совпадают, то раствор циркуля выбран нами уже достаточно точно. Если же эти точки сколь-нибудь заметно различаются, то дугу A_>0A_>n разделим на n примерно равных частей и отметим ту точку деления A_>0, которая расположена ближе всего к точке A_>0 (рис. 49). Подправим раствор циркуля так, чтобы он соответствовал расстоянию между точками A'_>0 и A'_>1, и повторим все сначала, отложив n растворов циркуля от точки A'_>0 и получив точки A'_>1, A'_>2, ..., A'_>n. Сравнив точки A'_>0 и A'_>n, мы опять выясним, достаточно ли точным оказался раствор циркуля. Если еще нет, то подправим его еще раз и т. д. до тех пор, пока нужная точность не будет достигнута.

Рис. 49

15.2. Пусть A_>1, A_>2, ..., A_>km - последовательные вершины исходного многоугольника. Тогда многоугольник с вершинами A_>1, A_>2, ..., A_>km будет правильным, поскольку эти вершины лежат на одной окружности (описанной около исходного многоугольника) и делят ее на равные дуги.

15.3. Проведем к каждой стороне данного многоугольника свой серединный перпендикуляр до его пересечения о дугой окружности, стягиваемой этой стороной. Так как полученные точки пересечения разделят каждую из дуг на две равные части, то эти точки вместе с вершинами исходного многоугольника образуют вершины требуемого многоугольника.