Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 88

Рис. 59

15.22. Построенный семиугольник не является правильным. В самом деле, пусть О - центр окружности, точка D - середина стороны АВ правильного треугольника, а точка Е - первая из засечек, сделанных на окружности радиусом

Рис. 60

Пусть R - радиус окружности, тогда

откуда

По таблицам синусов находим, что

Центральный угол β опирающегося на сторону правильного семиугольника равен ^>360°/_>7, т. е.

Следовательно, построенный семиугольник не является правильным. Однако из приведенных неравенств следует,

что

а значит, в результате шести откладываний дуги АЕ на окружности погрешность построений хотя и будет накапливаться, но не превзойдет 6(β - α)<42'<1°. Таким образом, описанный способ позволяет строить "практически правильный" семиугольник.

15.23. Пусть D-точка пересечения отрезков ВС и OA_>1, Е - середина отрезка ОА_>1, a CF - перпендикуляр к прямой A_>1E (рис. 61). Тогда если OA_>1 = R, то

откуда получаем

Рис. 61

По таблицам тангенсов находим

поэтому центральный угол BОС, который должен составлять у правильного девятиугольника 40°, в нашем случае отличается от нужного значения не более чем на 25'. При этом погрешность у остальных углов также не превосходит 25': два других "лепестка" дают такие же углы, а углы между "лепестками" просто делятся пополам, отчего погрешность лишь уменьшается в два раза. Таким образом, полученный девятиугольник является "практически правильным".

15.24. Заметим, что при n = 3, 4, 6 предложенный метод дает правильные n-угольники. Пусть О - центр данной окружности, R - ее радиус, EF - перпендикуляр к диаметру АВ (рис. 62). Тогда при n>4 справедливы равенства

Рис. 62

Для угла

а из подобия треугольников DOC и DFE получаем

откуда после преобразований находим

Подставляя в эту формулу значения n = 5, 7, 8, 9, 10, получаем следующие углы:

Сравнение с истинными значениями центральных углов, каковыми являются соответственно углы 72°, 51^>3/_>7° ≈51°26', 45°, 40°, 36°, показывает, что при n≤7 метод дает исключительно высокую точность, а с ростом n погрешность растет. Однако преимущество этого метода состоит в том, что его можно единообразно использовать при различных значениях n.