Условимся, пользуясь вольностью речи, разделять линии сетки на два вида: горизонтальные и вертикальные. Горизонтальными будем считать все параллельные линии сетки, имеющие какое-то фиксированное направление, а вертикальными - все остальные параллельные линии сетки, перпендикулярные горизонтальным. Точки пересечения линий сетки будем называть узлами, а расстояние между соседними узлами на одной линии - шагом сетки, причем по определению длину шага примем за единицу.
Важную роль при построениях на клетчатой бумаге играет возможность расположить фигуру так, чтобы все ее вершины или как можно большее их количество оказались в узлах сетки. В таких случаях построение некоторых точек фигуры иногда можно выполнить без каких-либо чертежных инструментов, а лишь о помощью подсчета числа шагов вдоль линий сетки. Заметим, что любой отрезок с концами в узлах сетки задается двумя своими проекциями - горизонтальной и вертикальной (т. е. его проекциями на некоторые горизонтальную и вертикальную линии сетки соответственно).
При решении задач настоящего параграфа стоит задумываться о том, чтобы предложенные вами способы построения использовали минимум технических средств. Если уж вам приходится применять, скажем, линейку, то только для проведения прямых линий между двумя заданными точками, но никак не для измерения расстояний между этими точками. Ну и, конечно, никому еще не повредило умение делать рисунки на бумаге от руки, даже рисовать окружности - ив этом деле, как мы увидим ниже, также помогает знание математики.
16.1. Середина отрезка На клетчатой бумаге нарисован отрезок, концы которого находятся в узлах сетки. Вам нужно найти его середину. Укажите, при каких положениях отрезка это можно сделать, не проводя дополнительных линий, а используя лишь точки пересечения отрезка с линиями сетки?
Как с помощью линейки найти середину отрезка при других его положениях?
16.2. Симметрия относительно точки Как проще всего найти точку, симметричную данному узлу сетки относительно другого данного узла сетки? Будет ли эта точка также узлом сетки?
16.3. На n частей Как разделить на заданное число n равных частей данный отрезок с концами в узлах сетки, пользуясь разве только линейкой?
16.4. Медианы треугольника В данном треугольнике с вершинами в узлах сетки проведите медианы, пользуясь одной лишь линейкой.
Обязательно ли точка пересечения медиан является узлом сетки?
16.5. Параллельный перенос Точки А, В и С находятся в узлах сетки. Не проводя никаких линий, параллельно перенесите точку С на вектор