Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 90
Будет ли полученная в результате точка узлом сетки?
16.6. Середина третьей стороны Докажите, что если какая-то вершина треугольника и середины двух прилежащих к ней сторон находятся в узлах сетки, то и середина третьей стороны также совпадает с одним из узлов сетки.
16.7. Параллельные прямые Через заданный узел сетки с помощью одной линейки проведите прямую, параллельную данной прямой, проходящей через два данных узла сетки. Отразите проведенную прямую симметрично относительно той же данной прямой.
16.8. Поворот на 90° Не проводя никаких линий, найдите точку, которая получится, если повернуть данный узел сетки вокруг другого данного узла сетки на угол 90°.
16.9. Вершины квадрата Докажите, что если две заданные соседние вершины квадрата находятся в узлах сетки, то и остальные две его вершины также должны находиться в узлах сетки.
Найдите эти вершины, не проводя никаких линий.
16.10. Перпендикуляр к прямой С помощью одной линейки через заданный узел сетки проведите прямую, перпендикулярную данному отрезку с концами в узлах сетки.
16.11. Симметрия относительно прямой Пользуясь одной лишь линейкой, отразите симметрично заданный узел сетки относительно данной прямой, проходящей через два данных узла сетки. Будет ли полученная в результате точка узлом сетки?
16.12. Рациональный тангенс Докажите, что проходящая через некоторый узел сетки прямая содержит еще хотя бы один узел тогда и только тогда, когда она образует с какой-нибудь линией сетки угол, тангенс которого является рациональным числом.
16.13. Без транспортира Найдите величину угла ABC, изображенного на рис. 63. Пользуясь полученным значением, сообразите в уме, чему равна сумма
Рис. 63
16.14. С помощью клетчатой бумаги На середине стороны АВ квадрата ABCD взята точка Е, а на диагонали АС - точка F, делящая диагональ в отношении AF:FC = 3:1 (рис. 64). Найдите угол DFE и отношение DF:FE.
Рис. 64
16.15. Геометрия помогает тригонометрии Расположив на клетчатой бумаге угол DFE, описанный в задаче 16.14 и изображенный на рис. 64, подберите на луче FE несколько узлов сетки так, чтобы продемонстрировать равенства
16.16. Тангенсы углов треугольника Докажите, что если вершины треугольника лежат в узлах сетки, то тангенс любого непрямого угла этого треугольника является рациональным числом.
16.17. Другие повороты Прямая проходит через два заданных узла сетки. Предложите способ, как повернуть указанную прямую вокруг одного из этих узлов на угол, тангенс которого равен данному рациональному числу.
16.18. Правильный треугольник Докажите, что все вершины равностороннего треугольника не могут одновременно лежать в узлах сетки.