Здесь мы снова сделаем небольшое отступление, ведь, пожалуй, самое важное в любом знании – это то, что человек сам его добывает. Прежде чем продолжить чтение, подумайте, как бы вы ответили на вопрос.
Сделали?
Надеюсь, что нет. Так как на вопрос, как он поставлен, нельзя ответить. Некоторые выводы никогда невозможно представить в числовом виде. Всегда существуют два типа ошибок, которые порождают подобные анализы. Он может что-то упустить или выдать ложный результат. Если надежность метода исследования определить лишь одним числом, то это будет по меньшей мере несерьезно и слишком все упростит. Встанем на сторону врача и предположим, что он объединил два разных показателя, поскольку они равны. Таким образом, анализ выявляет у 5 % здоровых рак, а у 5 % больных пропускает его. Это значило бы, что для вас вероятность того, что вы больны, составляет 95 %, как и подсказывает нам наша интуиция. Неутешительный расклад.
Однако в нашем распоряжении есть и другая информация, согласно которой ваш риск заболеть раком всего 1 %. Можно было бы снова попытаться произвести расчеты с помощью теоремы Байеса, но не беспокойтесь, мы выберем более наглядный способ, который с точки зрения математики ведет к тем же результатам. Если бы мы взяли анализ у 10 000 человек вашей группы риска, то он действительно показал бы сотню больных раком и 9900 здоровых. Если бы провели анализ у 95 % из сотни больных, то у 95 человек был бы установлен рак, а у 5 его просмотрели бы. Если то же проделать со здоровыми, то 95 % результатов окажется правильными, то есть подтвердит отсутствие болезни, а у 5 % анализ ошибочно покажет наличие заболевания.
5 % из 9900 здоровых – это 495 ошибочных результатов анализа. То есть из 10 000 пациентов анализ положительный у 590 человек, но только 95 из них действительно больны. Итак, ответ на поставленный вопрос таков: вероятность действительно быть больным раком при положительном результате анализа составляет 95/590 или 16 %.
Для контроля можно все это перепроверить, следуя логике Байеса, и заработать еще одну звездочку по прилежанию. Напомню, теорема гласит: p(K|P) = p(K) × p(P|K) / p(P), где К – это рак, а Р – это положительный результат анализа.
p(K) – вероятность болезни, то есть 1 %; p(P|K) – вероятность положительного результата анализа при фактическом наличии заболевания, этот показатель идентичен надежности анализа и составляет 95 %. p(P) – общая вероятность положительного результата анализа. Она складывается из двух отдельных групп. К одной относятся ошибочные результаты анализа у здоровых, что составляет 5 % из 99 %, то есть 99 % × 5 % = 4,95 %. К другой – корректные положительные результаты больных, это 95 % от 1 % всех больных или 0,95 %. Итого, общая вероятность положительных анализов равна сумме показателей обеих групп, то есть 4,95 % + 0,95 % = 5,95. Благодаря нашему доброму пастору Байесу вычисляем искомую вероятность p(K|P) = 1 % × 95 % / 5,9 % или все те же примерно 16 %.