от центра вращения. В тот момент, когда стержень отклонился от вертикали на угол α, момент силы тяжести будет равен 1/2
mgL sin α.
Момент инерции точечной массы равен произведению этой массы на квадрат расстояния до центра вращения, а для протяженного, «неточечного» тела вычисляется сложением моментов инерции всех его частей. Такое вычисление может быть довольно сложным вычислением, но для типичных случаев оно давно проведено и результат хорошо известен. Нас интересует момент инерции однородного стержня длины L и массы m относительно конца стержня – он равен 1/3 mL>2.
Что будет, если масса стержня увеличится, скажем, в два раза? Вдвое вырастет момент силы, но вдвое вырастет и момент инерции, а их отношение – то есть угловое ускорение – останется прежним. А что будет, если вдвое вырастет длина стержня? Момент силы увеличится в два раза, а момент инерции – в четыре, а значит, угловое ускорение вдвое уменьшится. Чем длиннее стержень, тем медленнее нарастает скорость его падения!
Таким образом, удержать на ладони длинную трость проще, чем короткую: у вас больше времени на то, чтобы отреагировать и остановить падение движением ладони. Падение карандаша происходит слишком быстро – скорости человеческой реакции не хватает, чтобы его предотвратить.
10. Механическое равновесие
64. Как носить бревно?
Тяжесть бревна мы ощущаем по тому, как сильно бревно давит на плечо. Если на плече лежит середина бревна, обе половины уравновешивают друг друга, и мы лишь слегка придерживаем бревно рукой. Сила тяжести, действующая на бревно, уравновешивается силой, с которой плечо толкает бревно вверх. Другими словами, плечо ощущает только вес самого бревна. Если же бревно не уравновешено, то на короткий конец приходится дополнительно надавливать рукой вниз, чтобы уравновесить более длинный конец. Теперь сила, с которой плечо толкает бревно вверх, уравновешивает не только вес бревна, но и силу, с которой рука давит на бревно вниз. Бревно кажется более тяжелым.
65. Блок и рычаг
Вес груза, подвешенного на конце перекинутой через блок веревки, передается на второй конец троса. Поскольку масса груза на конце рычага вчетверо меньше массы подвешенного груза, то и его вес будет вчетверо меньше. Пользуясь правилом рычага, делаем вывод, что трос должен быть привязан к рычагу на расстоянии четверти длины от шарнира.
В этом рассуждении мы неявно сделали два предположения: в оси блока нет трения, а сам рычаг невесомый. Как повлияет на ответ вес рычага? А наличие трения в блоке?