Очевидно, эта книга не является учебником. Но если вы преподаете математический анализ (или изучаете его), я надеюсь, что она будет вашим верным товарищем. Чтобы помочь в этом, ниже я привожу «стандартную» (более или менее) последовательность тем и соответствующие им истории, а также несколько отдельных педагогических идей.
Пределы: «То, что ветер оставляет после себя» (гл. VIII), «В литературных кругах» (гл. XVI)
От природы я застенчивый человек, который всегда старается занимать промежуточное положение: я слушаю Coldplay, пью латте и всегда начинаю курс математического анализа с пределов. Но работа над этой книгой заставила меня стать более радикальным: теперь я соглашаюсь на совместные действия с теми хулиганами и злоумышленниками, которые принижают пределы. Не само математическое понятие, а, скорее, идею о том, что до того, как познакомиться с производными и интегралами, студенты должны пройти через тщательное изучение локального поведения абстрактных функций вне контекста. В следующий раз, когда я буду преподавать матан, я собираюсь присоединиться к мятежникам и нырнуть сразу в дифференциацию, вернувшись к понятиям сходимости и неразрывности только тогда, когда они естественным образом всплывут в контексте. Это, как я понимаю, исторически верный путь, а то, что было хорошо для Бернулли, будет на пользу и мне.
Касательные: «Шерлок Холмс и неправильный велосипед» (гл. VI)
Хотя я недоволен пределами как педагогической основой, это не мешает мне оставаться большим поклонником связанных с ними философских загадок. Именно поэтому мне нравится задача о касательной, про которую я здесь рассказал. Она дает конкретное значение понятию «мгновенное движение» и вынуждает сравнивать действия без матана с действиями в его рамках.
Определение производной: «Мимолетное вещество времени» (гл. I)
Споры о том, какое определение лучше дать производной, не умолкают. Это наклон касательной? Оптимальная локальная линеаризация? Мгновенный уровень изменения? Я предпочел последний вариант, хотя идея «локальной линеаризации» последует очень скоро, в главе «Когда Миссисипи текла на миллион миль» (гл. V).
Правила дифференцирования: «Зеленоволосая девушка и многомерная улитка» (гл. X); «Посчитаем!» (гл. XV)
Я представляю производные функций х>2 и х>3 (в главе X) и правило произведения (в главе XV) через рассуждения о бесконечно малых. Увы, мой новоприобретенный радикализм снова поднимает голову: если когда-то я считал этот подход противозаконным и даже аморальным, теперь полагаю, что философская выдумка, позволяющая представить