Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 12

Однажды, налив чашку горячего чая и пережевывая кусок зернового хлеба (тьфу ты, а я думал, что взял белый!), я присел на диван рядом со своим другом Джеймсом, учителем английского.

– Как дела? – поприветствовал я его.

Джеймс воспринял этот дежурный вопрос так, как он принимал все: с полнейшей серьезностью.

– На этой неделе я счастлив, – ответил он. – С некоторыми вещами еще есть проблемы, но все становится лучше.

Очевидно, в первую очередь я являюсь учителем математики, а уже во вторую – человеческим существом, потому что на откровение своего друга я ответил следующим образом:

– То есть функция твоего счастья принимает средние значения, но первая производная является положительной.

Джеймс мог вырвать бутерброд из моей руки, выплеснуть свой чай мне в лицо и завопить:

– Наша дружба кончена!

Вместо этого он улыбнулся, наклонился и – клянусь вам, все так и было! – сказал:

– Звучит увлекательно. Объясни мне, что это значит.

– Ну, – начал я читать лекцию, – изобрази график изменения уровня своего счастья со временем. Линия проходит на средней высоте, но в данный момент поднимается – это и есть положительная производная.

– Понятно, – ответил он. – Значит, отрицательная производная означает, что дела идут хуже?

– Ну, – я увильнул от прямого ответа, – в каком-то роде.

Я демонстрировал педантичность, за которую математиков так любят. (Или правильно сказать «критикуют»?)

– Отрицательная производная означает, что значение уменьшается. Для некоторых функций – например, личного долга или физической боли – хотелось бы иметь отрицательную производную. Но в случае со счастьем – да, это не очень хорошо.

Это был довольно необычный первый урок по дифференциальному исчислению. Большинство студентов постигают эти идеи не с помощью зыбкой психологии функции «счастья», а через ясную и лаконичную физическую картину «положения». Например, обозначим положение велосипедиста на велодорожке как p. В начальной точке p = 0; через 800 м p = 0,8 км.

Что выражает здесь производная? То, как быстро p изменяется в определенный момент времени. Мы называем ее p´ (произносится «p штрих») или (более наглядно) «скорость».

Большое значение p´ – скажем, 14 м/с – означает, что положение изменяется быстро, скорость высока. Маленькое значение – к примеру, 0,6 м/с – говорит о низкой скорости. Если p´ равно нулю, то положение не меняется вообще; велосипед стоит на месте. А если p´ отрицательно, то мы движемся по дорожке назад: велосипедист сменил направление.

Из нашего первоначального графика (определяющего положение в каждый момент) мы можем вывести совершенно новый, определяющий