Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 17

Возьмем видоизмененные обозначения Лейбница. Вместо Δх и Δt рассмотрим dx и dt – бесконечно малые приращения положения и времени.

Исходя из этого, производная у Лейбница будет обозначаться dx/dt.

Здесь есть одна уловка: dx и dt не являются реальными числами, и по-настоящему вы не можете делить их. Запись не является буквальной, она, скорее, напоминает аналогию или магический пасс рукой. Но именно это делает символизм таким мощным. Гарвардский математик Барри Мазур сравнивает производную Лейбница с пиктографическим алфавитом китайского или японского: не просто произвольно выбранный знак, но крошечная выразительная иллюстрация сущности понятия. Мазур относит ее к своим «любимым частям математической терминологии» именно по этой причине: она «визуально объясняет саму себя».

Я должен признаться. Студентом я предпочитал обозначения, на которые повлияли работы Ньютона (с которыми мы имели дело в главе III). Для меня все это дело с dx/dt выглядело громоздким, сложным и, что хуже всего, словно содержащим в себе мину-ловушку: дробь, которая в действительности не является дробью.

Но со временем я сумел оценить тайную мощь d Лейбница – ее огромную гибкость. Тогда как производные предполагают единственную переменную на входе (часто – это время), символика Лейбница простирается гораздо шире. Она позволяет нам выстроить огромное количество классов переменных в сложном «балетном» порядке.

Чтобы увидеть это, давайте зайдем в класс, где идет урок экономики. Или, еще лучше, в конференц-зал компании, производящей игрушки.

Мы с вами делаем плюшевых мишек, продаем определенное количество (q) по определенной цене (p). Что случится, если мы незначительно повысим цену? В целом мы продадим меньше мишек, но точный ответ дает производная dq/dp. Она показывает текущий показатель изменения количества с учетом цены.

Тем не менее q зависит не только от p. Возможно, мы занимаемся рекламой и вкладываем а долларов в телевизионные ролики. В этом случае dq/da выражает незначительное влияние, которое каждый дополнительный доллар, вложенный в рекламу, оказывает на продажи.

И опять же, если мы даем больше рекламы, возможно, нам понадобится поднять цену. Это означает еще раз рассмотреть dp/da: как цена, которую мы назначаем, зависит от рекламного бюджета.

Мы даже можем перевернуть наши производные с ног на голову. Что насчет dp/dq? Это соотношение укажет нам на то, как цена отреагирует на бесконечно малое изменение количества.

Может ли обозначение производной со штрихом провернуть такие фокусы со столь разнообразными производными? Да бросьте! Только проворная