Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 18
Не знаю, как насчет вас, но я пришел в бизнес по производству плюшевых медведей не для того, чтобы завести друзей. Я в нем даже не для того, чтобы делать плюшевых хищников, которые портят здоровье детей и ослабляют естественный страх перед медведями. Я здесь, чтобы делать деньги, и вследствие этого на выходе для меня имеет значение только одна переменная: выгода.
Чтобы максимально увеличить выгоду, мы не должны ставить слишком низкую цену. Скажем, изготовление плюшевого мишки стоит $5, в таком случае продавать его за те же $5 – это не бизнес, а благотворительность. $5,01 немногим лучше: конечно, мы продадим множество медведей по такой низкой цене, но, даже если их будет миллион, наша прибыль составит всего $10 000.
С другой стороны, слишком задирать цену мы тоже не хотим. Если мы будем просить $5000 за одного медведя, то, возможно, какой-нибудь наивный миллиардер и купит одного. А может быть, и нет. В любом случае мы продадим слишком мало, чтобы получить какую-либо существенную выгоду.
Что нам нужно, так это производная. Если мы будем поднимать цену с бесконечно малым приращением, как это скажется на выгоде?
Производная положительна? Это означает, что подъем цены увеличит выгоду. Иными словами, мы назначаем слишком низкую цену.
Отрицательная производная? Это означает, что снижение цены принесет выгоду, поскольку привлечет больше клиентов. Иными словами, мы назначаем слишком высокую цену.
Мы хотим найти особый момент – цену, при которой производная точно равна нулю.
Максимум – это момент перехода, когда производная из положительной превращается в отрицательную. Между тем минимум – это полная противоположность: момент, когда производная из отрицательной превращается в положительную. Логика на самом деле очень простая: если ты в минимуме, просто двигайся вперед – и подъем начнется. Это лучшее, что можно сделать.
Мы определили максимум не по его общим свойствам («это самая высокая из всех точек графика»), но по частным характеристикам. Посмотрите на левую часть графика, она поднимается вверх. Посмотрите на правую – она снижается. Посмотрите прямо на обозначенную на нем точку: здесь производная равна нулю. Это определение максимума исходя из анализа бесконечно малых. Это очень остроумный трюк, похожий на то, как определить вершину горы с помощью анализа образца почвы.
Первой публикацией в истории математического анализа была статья Лейбница, вышедшая в 1684 г., – «Новый метод максимумов и минимумов» (