Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 16

И никто в истории не изобретал символов, обладающих той же наглядной ясностью, как нововведения Готфрида Лейбница. «Подозреваю, что своими успехами в математике, – размышляет специалист в области информационных технологий Стивен Вольфрам, – Лейбниц в значительной степени обязан тому, что вложил немало сил в систему обозначений».

Родившийся в 1646 г., всего через несколько лет после Ньютона, «сооснователя» математического анализа, Лейбниц проявил себя в самых разнообразных областях. Философ, человек, ведущий светский образ жизни, и, как показывают портреты, обладающий головой, на которую возлагались гигантские парики, он мог бы включить «изобретение математического анализа» всего лишь одной строкой в свое резюме. Он был самым известным в Европе специалистом по геологии, Китаю, сложным юридическим вопросам, то есть, если говорить обобщенно, самым известным специалистом в Европе. Один королевский заказчик с тяжелым вздохом называл Лейбница «мой живой словарь». За свою жизнь ученый написал 15 000 писем более чем 1000 корреспондентов.

Лейбниц заботился о своих читателях. В отличие от Ньютона, который намеренно написал «Начала» тяжелым стилем («дабы избежать нападок дилетантов от математики»), Лейбниц ценил комфортное общение. Поэтому, разрабатывая понятия математического анализа, он озаботился тем, чтобы снабдить их ясными и подходящими символами.

Такими символами, как d.

В математике Δ (греческая буква «дельта») обозначает изменение. Возьмем достойный заголовков газет пример, который имел место этим утром и о котором шесть месяцев назад вы не могли услышать: я вышел на пробежку.

Если принять за х пройденное мной расстояние, то Δх – это изменение расстояния за определенный промежуток времени. Скажем, 26 км (поскольку это моя книга, я могу и солгать, если мне этого захочется).

Теперь, если t – это время, то Δt – время, затраченное на пробежку. Пусть это будет два часа (потому что это упрощает расчеты, а не для того, чтобы я показался скоростным монстром).

Какой была моя скорость? Ну, для того чтобы рассчитать величину изменений, мы делим. Δх разделить на Δt, это дает 13 км/ч.

А теперь что насчет моей скорости ровно в час дня? Производная, как вы, возможно, помните, – это мгновенная величина изменения. Она не анализирует неторопливый интервал времени – два часа. Она показывает единственный момент, стоп-кадр.

Но тут возникает проблема. За этот бесконечно малый промежуток времени никакого времени не прошло и я не покрыл никакого расстояния. Δх и Δt равны нулю. А 0/0 дает не слишком иллюстративный ответ.