Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 51

Эта загадка просто создана для математического анализа. Небольшая корректировка точки прыжка в воду оказывает крошечный эффект на общее время. Найдите, где эта производная

Мог Элвис, столкнувшись с подобной проблемой, выбрать оптимальный путь? Или, как спросил Пеннингс в заглавии своей исследовательской работы: «Знают ли собаки математический анализ?»

Во-первых, нам нужно задать несколько переменных: r – скорость бега Элвиса, s – скорость, с которой он плывет, x – расстояние, на котором мячик находится от берега, и z – расстояние до мячика по пляжу.

Последнее важное решение – это переменная y: какой угол должен срезать Элвис?

Проведя некоторые алгебраические преобразования, Пеннингс вывел удивительную формулу:

Почему эта формула удивительная? Не столько из-за того, из чего она состоит (просто куча символов), но из-за того, что в ней отсутствует. В формуле нет z.

В следующие годы Пеннингс подчеркивал этот момент, читая лекции студентам. «Что должен Элвис сделать, – спрашивал Тим, – если я отойду еще на десяток метров, прежде чем бросить мяч?» Иными словами, если z вырастет, что произойдет с y?

Подавляющее большинство отвечающих – более 90 % – выбирали вариант (б). Но тогда Пеннингс говорит о том, что в формуле нет z. Ее отсутствие указывает на то, что оптимум не зависит от z. Не важно, насколько далеко от береговой линии начнет движение пес – 10 метров, 100 метров, 100 километров: Элвис всегда должен выбирать один и тот же момент, чтобы войти в воду.

– Вы все с этим согласились, – говорил Пеннингс слушателям. – Это казалось очевидным. Но тем не менее математика преодолевает мнение масс. Она преодолевает вашу интуицию. Она преодолевает все это.

Мог Элвис также прорваться сквозь песок и волны, чтобы добраться до своей награды? Мог собачий мозг добиться успеха там, где спасовал человеческий? Неутомимые Пеннингс, Элвис и помогавший им студент провели день на пляже, собирая данные. Во-первых, замерили время, чтобы определить скорость пса: на земле Элвис преодолевал 6,4 м/с, а в воде – 0,91 м/с. Во-вторых, экспериментаторов ждало главное событие. Пеннингс провел 13-метровую черту с разметкой вдоль берега. Он бросал мячик 35 раз, 35 раз гнался за Элвисом, пока пес не нырял в воду, 35 раз втыкал отвертку в песок, чтобы сделать отметку, и 35 раз бросался, чтобы измерить расстояние, на котором мяч находился от берега до того, как Элвис схватил его.

– Что вы делаете, охотитесь за своей собакой с крестовой отверткой? – спросил какой-то прохожий.