и
к могут быть выражены численно, будет справедливо устанавливать численные отношения между ними. А в той мере, в которой они не могут быть точно выражены численно, мое заявление о том, что теорема Байеса истинна, будет просто заявлением, что все утверждения сравнительной вероятности, которые следуют из этой теоремы, истинны. Под утверждениями сравнительной вероятности я подразумеваю утверждения о том, что одна вероятность больше, такая же или меньше другой вероятности (иногда такие утверждения – это всё, что мы можем более или менее оправданно сказать о некоторых вероятностях: см. с. 42–43). Так, из теоремы Байеса следует, что если даны две гипотезы
h>1 и
h>2, при которых
Р(
e|h>1&k) =
Р(
e|h>2&k), то
Р(
e|h>1&k) >
Р(
e|h>2&k), если и только если
P(
h>1|k) >
P(
h>2|k). Иными словами, если обе гипотезы
h>x и
h>2 полагают равную вероятность того, что мы обнаружим некую данность е, при заданном фоновом знании
к, тогда одна из них,
h>1, будет более вероятна, чем другая, по всей совокупности данных
е и
к, если и только если
h>1 была более вероятна, чем
h>2 только с учетом фоновых данных. Выразим это более формально: если
h>1 и
h>2 обладают равной предсказательной силой,
h>1 будет обладать большей апостериорной вероятностью (то есть вероятностью по всей совокупности данных
е и
к), чем
h>2, если и только если: она повышает предварительную вероятность. Так, например, если нам даны две научные теории, с равным успехом предсказывающие некоторые наблюдаемые данные, то одна из них будет более вероятна, чем другая, если и только если она была более вероятной еще до того, как наблюдения были произведены. Или, опять же, из теоремы Байеса следует, что если
P(
h>1|k) =
P(
h>2|k), то
Р(
h>1|e&k) >
Р(
h>2|e&k), если и только если
Р(
e|h>1&k) >
Р(
e|h>2&k). Это означает, что если две гипотезы равновероятны до того, как получены некоторые данные е, одна из них будет более вероятна, чем другая, по всей совокупности данных, если и только если согласно этой гипотезе то, что
е будет обнаружено, будет более вероятно, чем согласно другой гипотезе (в крайнем случае,
h>1 может влечь за собой
е – оно может быть дедуктивным следствием
h>1, а
h>2 может влечь за собой ¬
e, то есть то, что
е не произойдет).
Рассмотрим еще один пример, чуть отличный от приведенных выше и иллюстрирующий действие теоремы Байеса. Пусть h – это гипотеза о том, что Джонс ограбил Барклайс Банк, е – это данные о том, что он находился около банка в момент совершения преступления, а k – это фоновое знание о том, что Джонс уже однажды ограбил другой банк (Ллойдс Банк). Тогда