Жизнь – это то, что происходит, пока мы строим планы.
АЛЛЕН СОНДЕРС,
американский писатель, журналист и мультипликатор
Сегодня ваш день рождения, но, к сожалению, вы обязаны посетить рабочее мероприятие. Около 60 человек, работающих в вашей сфере, собираются вместе. Вы слушаете разговоры коллег, и большинство оказываются далеко не такими интересными, как можно было надеяться. «Поверить не могу, что провожу свой день рождения на работе, – думаете вы. – Наверняка только меня и угораздило отмечать свой праздник здесь». А что, если это не так?
Каждый семестр в рамках своего курса я провожу игру с новыми студентами. Я спрашиваю их: «Как вы оцениваете вероятность того, что как минимум один человек из шести десятков собравшихся в этой аудитории отмечает день рождения в тот же день, что и вы?»
Обычно студенты дают ответ в диапазоне от 5 до 20 %. Это имеет смысл – в году 365 дней, и вполне логично, что мы делим 60 (людей) на 365 (дней). Выходит, что вероятность разделить с кем-то свой день рождения довольно низкая.
Затем я прошу каждого студента кратко назвать день и месяц своего рождения. Остальных я прошу крикнуть «Здесь!», если они услышат дату своего рождения. Обычно студенты бывают просто поражены, когда первое «Здесь!» раздается уже после того, как свою дату рождения назвали первые 10 человек.
А за ним еще одно, и еще. В большинстве случаев в группах из 60 студентов я с удивлением обнаруживал, что совпадают от трех до шести пар дней рождения.
Как такое возможно? Это какая-то магия? Нет, чистая статистика. Это экспоненциальное, а не линейное распределение: для каждого студента, который называет свой день рождения, существует множество потенциальных «пар». Например, для первого есть еще 59 человек, которые потенциально могут иметь ту же дату рождения; для второго – 58 (если предположить, что у первого день рождения в другой день) и т. д. В общем, когда мы складываем все эти потенциальные совпадения, получается так называемый парадокс дней рождения (см. график).
Парадокс состоит в том, что для 23 человек имеется 50-процентная (!) вероятность, что у двоих из них в случайной выборке день рождения в один и тот же день (поскольку есть 253 сочетания, или потенциальные пары)[22]. Еще поразительнее то, что уже для 70 человек существует вероятность, что двое из них практически наверняка родились в один день, – это будет в 99,9 % случаев. Как человеку, вынужденному остаться в школе на второй год из-за отсутствия способностей к математике, мне потребовалось некоторое время, чтобы это понять. Но это действительно так!