Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 15
Этот ряд сходится на интервале от — π/4 до π/4. Грегори одним из первых понял, что задача о квадратуре круга нерешаема.
Чтобы получить эту формулу, он выполнил следующие действия:
tg α = 1/5,
tg 2α = 2∙tg α/(1 — tg>2α) = 5/12,
tg 4α = 2∙tg 2α/(1 — tg>2 2α) = 120/119,
tg (4α — π/4) = (tg 4α — 1)/(1 + tg 4α) = 1/239.
Отсюда следует искомое равенство, так как
4α — π/4 = arctg tg (4α — π/4) = arctg 1/239.
Ha основе этой формулы вкупе с известными выражениями, например
arctg (x) = x — (x>3/3) + (x>5/5) — …
выводятся быстро сходящиеся ряды, с помощью которых Мэчин рассчитал π до сотого знака. Вне всякого сомнения, большой заслугой Мэчина является полученная им формула, записываемая в тригонометрическом виде, которую можно быстро преобразовать в ряд. Далее, когда мы будем рассказывать о Захариусе Дазе, то упомянем еще один любопытный факт, имеющий отношение к Мэчину.
Формулы, подобные той, что вывел Мэчин (так называемые формулы Мэчина), очень распространены, их изучением занимались многие исследователи независимо друг от друга. Мэчин стал первым среди них.
В девятом томе первого издания Французской энциклопедии, созданной силами Дени Дидро, упоминается Том Фанте де Ланьи (1660–1734), преподаватель гидрографии и математики, чей некролог редактировал сам Фонтенель. В 1719 году де Ланьи вычислил (сущая безделица!) 112 знаков π, использовав тот же степенной ряд, что и Шарп.
ЗАДАЧА, ПЕРЕД КОТОРОЙ НЕЛЬЗЯ УСТОЯТЬ
Математик Том Фанте де Ланьи (1660–1734), родившийся во французском городе Лионе; занял свое, пусть скромное, место в истории благодаря тому, что первым верно вычислил 112 знаков числа π — абсолютный мировой рекорд в то время. С ним также связан занимательный эпизод, произошедший незадолго до его смерти. Рассказывают, что его коллега Мопертюи пришел навестить его на смертном одре и обнаружил тело без признаков жизни. Чтобы удостовериться в этом, Мопертюи еле слышно прошептал: «Сколько будет 12 в квадрате?», предполагая, что ни один математик не устоит перед подобной задачей. Де Ланьи вскочил, громко воскликнул: *144!* — и умер.
* * *
На самом деле де Ланьи вычислил 127 знаков, но лишь 112 из них были верными, что подтвердил Георг Вега (1754–1802). Этот немецкий математик к концу жизни был удостоен высокого титула барона в Австрийской империи, что не спасло его от судьбы простолюдина: он был убит неким вором из-за денег и часов. В 1794 году Вега использовал одну из формул Мэчина, которую вывел Эйлер, чтобы вычислить 137 знаков π, на этот раз без ошибок. Он использовал следующую формулу: