В 1853 году его немецкий коллега Якоб Гейнрих Вильхельм Леманн (1800–1863) рассчитал 261 знак Я, что принесло ему известность в математике. Его именем также назван кратер на Луне. В следующем году немецкий профессор Рихтер вычислил 330, затем 400 и, наконец, 500 знаков.
Английский математик-любитель Уильям Шэнкс (1812–1882) посвятил свою жизнь вычислениям. Наряду с расчетами других констант в 1875 году он получил 707 знаков π, что увековечено на знаменитом фризе Дворца открытий в Париже. Но это стоило музею немалых затрат: фриз был построен в 1937 году, а в 1946 году Дэниел Фергюсон в статье в журнале Nature показал, что верными являются лишь первые 527 знаков. Огастеса де Моргана (1806–1871) крайне удивил тот факт, что цифра 7 встречается в записи числа π заметно чаще остальных.
Подобно многим ученым, занимавшимся объемными расчетами, Шэнкс допускал ошибки. Он не располагал правильным ответом, с которым можно было бы свериться, поэтому считал свои вычисления верными. Не стоит забывать, что в те времена не было ни компьютеров, ни калькуляторов, все расчеты выполнялись на листах бумаги, испещренных бесчисленными цифрами. Теперь во Дворце открытий можно посмотреть на исправленное значение π. Такова дань уважения объяснимой человеческой ошибке. В наши дни было обнаружено, где именно ошибся Шэнкс, который вычислял π поэтапно.
Не стоит умалчивать о достижении Фергюсона — последнего, о котором мы расскажем, прежде чем перейдем к повествованию о компьютерной эре. В 1947 году он опубликовал 808 знаков π. Для расчетов ему понадобился целый год, арифмометр, много терпения и следующая формула:
π/4 = 3∙arctg (1/4) + arctg (1/20) + arctg (1/1985)
В 1882 году немецкий математик фон Линдеман изрядно охладил пыл тех, кто занимался расчетами числа π, доказав, что оно не является алгебраическим, поэтому не может быть найдено построением с помощью циркуля и линейки. Линдеман доказал трансцендентность числа π. Следует отметить, что в его объемном доказательстве ни разу не использовались геометрические методы. Таким образом, число π покинуло мир геометрии, и это произошло точно в тот день, когда была доказана его трансцендентность.
Оригинальное доказательство Линдемана основано на тех же примерах, которые за несколько лет до того использовал Шарль Эрмит (1822–1901) для доказательства трансцендентности числа е — еще одной известной константы. Линдеман пришел к выводу, что линейная комбинация степеней е с коэффициентами A>k и показателями степени B>k (вещественными или комплексными)
А>1е>в