Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 37

= [4π^>2/G(m_>1 +m_>2)]∙a^>3

Принцип неопределенности Гейзенберга для частицы со средним значением координаты х и средним импульсом р, где h — нередуцированная постоянная Планка:

ΔxΔy >= h/4π

Космологическая константа, где G — гравитационная постоянная, с — скорость света, р — плотность материи и излучения:

Можно предположить, что следующие формулы будут интересны только специалистам, поэтому мы не будем продолжать. Стоит отметить, что эти и другие физические формулы не используются для расчетов Я, но их полезно знать каждому образованному человеку.

Простейшие формулы прежде всего относятся к так называемым коническим сечениям — кривым, получаемым в результате рассечения конуса плоскостью. В следующих формулах r обозначает радиус.

Длина окружности:

L = 2πг.

Площадь круга:

S = πr^>2.

Площадь эллипса с полуосями а и Ь:

S = πаЬ.

Площадь правильного многоугольника с n сторонами и длиной стороны а:

S = (1/4)∙na^>2ctg (π/n)

Площадь поверхности сферы:

S = 4πr^>2

Общая площадь поверхности цилиндра с высотой h:

S = 2πr∙(r + h).

Общая площадь поверхности конуса с образующей g:

S = πr∙(r + g).

Объем сферы:

V = (4/3)∙πr^>3.

Объем эллипсоида с полуосями а, Ь и с:

V = (4/3)∙πabc

Объем цилиндра с высотой h:

V = πr^>2h.

Объем конуса с высотой h:

V = πr^>2h/3.

Также, разумеется, существуют и другие формулы, в которых используется π и очень сложные интегралы.

Под простой формулой будем понимать любую формулу, найденную до наступления компьютерной эры. С наступлением эпохи компьютеров математики сосредоточили внимание на вычислении знаков π с наибольшей эффективностью. Красота расчетов уступила место эффективности вычислений. Простое перечисление формул будет достаточно громоздким, но у нас не остается другого выхода:

В последней формуле использован круговой интеграл. Предполагается, что обход дуги окружности осуществляется против часовой стрелки.

Важное место среди математических формул с числом π занимают ряды:

Подобные ряды могут иметь и такой вид:

Существуют также ряды, связывающие π и загадочную дзета-функцию Римана ζ (s):

В последнем случае В_>2n — числа Бернулли, изучаемые в высшей математике. Для справки приведем первые несколько чисел Бернулли:

Возможно, перечисление рядов — не совсем то, чего ожидал читатель. Рассмотрим подробнее простой пример: первый ряд из нашего списка, именуемый формулой Лейбница. Рассмотрим ряд

1/(1 + x^>2) = 1 — x^>2 + x^>4 — x^>6 + x^>8 — …,

сходящийся при |х| < 1. Можно проинтегрировать его почленно и использовать интегральное исчисление для расчетов: