Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 36

, который в значительной степени помог ему в геодезических исследованиях. Этот прибор с движущимся зеркалом отражает солнечный свет в определенном направлении, что делает возможной настройку топографических инструментов.

Расскажем о некоторых любопытных фактах, связанных с π и понятных неподготовленному читателю. Если треугольник имеет произвольно выбранные стороны а, b < 1 и с = 1, то вероятность того, что а, b и с образуют тупоугольный треугольник, равна (π — 2)/4.

Среднее число вариантов записи натурального числа в виде суммы двух квадратов (с учетом их порядка) равно π/4.

Говорят, что комплексное число является гауссовым целым числом, если его можно представить в виде х + yi, где х и у — целые. При сложении, вычитании и умножении гауссовых целых чисел результат всегда будет также гауссовым целым числом. Они образуют так называемое поле, на котором можно определить признак делимости, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное и простые числа. Вероятность того, что два гауссовых целых числа являются взаимно простыми, равна 6К/π^>2, где К — так называемая постоянная Каталана. Для обычных целых чисел эта вероятность равна 6/π^>2.

Государь, чей оракул находится в Дельфах, не говорит и не скрывает, но знаками указывает.

Гераклит

Лорд Кельвин как-то написал на доске формулу

и, обращаясь к слушателям, сказал: «Математик — это тот, для кого эта формула столь же очевидна, как 2 + 2 = 4».

Мы не будем заходить так далеко, как лорд Кельвин, но все же приведем несколько формул, в которых используется π. Присутствие формулы в тексте гарантирует, что не слишком заинтересованный читатель непременно отвлечется, поэтому мы постарались использовать как можно меньше формул и объединить их в одной главе.

Некоторые из них обязательно знать всем, кто интересуется этой темой, поэтому их нельзя было не включить в эту главу. Более сложные формулы будет непросто понять, но с ними следует ознакомиться, чтобы осознать, каких усилий стоило открыть их.

Выражения, в которых используется π, полезно знать. Те, что касаются физики, порой столь же интересны, сколь трудны для понимания.

Формула ниже — это закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между двумя зарядами q_>1 и q_>2, расположенными на расстоянии r, где ε_>0 — электрическая постоянная:

F = |q_>1q_>2|/4πε_>0r^>2

Это третий закон Кеплера, где Р — период обращения планеты вокруг Солнца, m_>1 и m_>2 — масса Солнца и планеты, а — большая полуось орбиты, G — гравитационная постоянная:

p^>2 = [4π^>2