Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 38

Приняв х = 1, увидим, что доказательство близится к завершению. Чтобы подтвердить правильность полученного результата для х = 1, учитывая, что этот результат верен для |х| < 1, нужно выполнить еще несколько действий. Запишем исходный ряд, но остановимся на (n — 1) — м члене, записав остаток так, как если бы речь шла об n-м члене:

Проинтегрировав почленно от 0 до 1 и приняв х = 1, имеем

При переходе к пределу при n —> оо последний член стремится к нулю. Следовательно,

actg 1 = π/4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — …

К сожалению, этот ряд не слишком удобен для расчетов π, так как он сходится слишком медленно. Чтобы получить десять знаков π, нужно найти сумму 10^>50 членов ряда — число поистине астрономическое. Из очевидных соображений мы не будем повторять эти действия для всех ранее приведенных рядов. Это было бы слишком трудоемко, но мы не получили бы никаких новых результатов. Следующий ряд иногда называют рядом Грегори-Лейбница. В действительности его нужно было бы именовать рядом Мадхавы из Сангамаграма, так как именно этот индийский математик первым открыл формулу. Этот ряд записывается так:

где F_>n — это числа Фибоначчи, элементы числовой последовательности, в которой каждое число является суммой двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144….

Также π фигурирует в так называемых бесконечных произведениях. Следующую формулу вывел Джон Валлис (1616–1703):

Ее можно свести к интегралу

путем трудоемких математических преобразований. Лорд Броункер (1620–1684) преобразовал эту формулу в цепную дробь.

Авторство следующего бесконечного произведения принадлежит Эйлеру:

Оно имеет особенность: в нем используются только простые числа, как и в другом бесконечном произведении, еще более необычном:

Здесь используются простые числа p_>k вкупе с тригонометрическими функциями. Воображение Эйлера поистине не знало пределов.