Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 39
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89….,
в которой каждый элемент равен сумме двух предыдущих. Фибоначчи применил этот ряд в решении известной задачи о кроликах. В «Книге абака» содержатся другие похожие задачи, но известность в Европе книга приобрела благодаря изложению практических задач современным и понятным языком. Иными словами, читатели не возражали против рассуждений о π, но на самом деле их больше интересовали советы по использованию позиционной системы счисления с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Вопросы, связанные с бухгалтерией, мерами, весами, монетами, распределением прибыли, требовали ответов и разъяснений. Фибоначчи написал и другие книги по чистой математике, в которых освещались важные задачи геометрии, теории чисел и уравнения, но в свое время они не вызвали того резонанса, которого заслуживали.
* * *
Классический результат, приведенный ниже, принадлежит французскому математику Франсуа Виету (1540–1603):
Это произведение, само по себе красивое с точки зрения математики, можно преобразовать в еще более прекрасное выражение, что сделал Хоаким Мунхаммар в 2000 году:
Число пар кроликов F>n в поколении n при отсутствии смертей и при условии, что первая пара кроликов в первом поколении не размножается, подчиняется правилу F>n = F>n-1 + F>n-2>n
F>n называются числами Фибоначчи.
* * *
Вывод формулы Виета на современном языке выглядит следующим образом. Будем использовать треугольник, который применял еще Архимед. Обозначим основание треугольника за Ь, угол, образованный высотой h и стороной треугольника, за ОС.
Имеем
S>n = n ∙ площадь треугольника.
Используя элементарную тригонометрию (в развитие которой сам Виет внес заметный вклад), получим:
S>n = (1/2)∙nr>2∙sin 2α = nr>2∙sin α∙cos α.
Следуя по пути Архимеда и используя многоугольник с удвоенным числом сторон, имеем
S>2n = (1/2)∙2∙nr>2∙sin 2α = nr>2∙sin α.
Тогда
S>n/S>2n = cos α
Это ключевой момент рассуждений, поскольку далее с помощью простых алгебраических преобразований выводится следующее выражение:
Заметим, что при переходе к пределу при k —» oo
После еще одного элементарного преобразования имеем
что сводится к исходной формуле. Как оценить начальное значение α? Если, подобно Виету, взять в качестве исходного многоугольника квадрат, где
n = 4, cos α = √(1/2),
и использовать тригонометрическую формулу половинного угла, согласно которой
cos (χ/2) = √[(1/2) + (1/2)∙cos χ]
получим, пусть и другим способом, искомое выражение:
Не будем забывать, что Виету нельзя было отказать в изобретательности. Отдельное место занимают две формулы, которые считаются королевами математической красоты. Они известны как формула Эйлера: