Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 40
e>π' + 1 = 0
и формула Стирлинга:
n! ~ √(2πn)∙(n/e)''.
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Эта легендарная функция, которую обозначают греческой буквой дзета (ζ), возможно, в будущем поможет нам узнать ранее немыслимое о простых числах и откроет их тайны. Благодаря исследованиям Эйлера эту функцию можно выразить в виде ряда, равно как и в виде бесконечного произведения:
Эта функция определяется на области, образованной комплексными числами, для которых вещественная часть больше 1. Она допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы, что показал Георг Фридрих Бернхард Риман (1826–1866). Гипотеза Римана гласит, что «нетривиальные нули» ζ имеют действительную часть, равную >1/>2. Все это выглядит достаточно сложно (и является таковым на самом деле). Столь же непросто обнаружить связь между π и функцией ζ. Эту связь можно заметить, проанализировав значения ζ(s) и выявив, что к соответствует всем целым четным s. Илан Варди и Филипп Флажоле обнаружили следующий любопытный ряд:
Если говорить о цепных дробях, то с их помощью π выражается весьма непросто (первым с помощью бесконечной дроби значение π вычислил Ламберт):
Существуют и другие дроби, не столь известные, но намного более симметричные:
Последняя из формул — это формула лорда Броункера в несколько измененном виде. Цепные дроби отличаются одним положительным свойством: стоит нам остановиться в вычислениях на каком-либо этапе, полученная дробь будет наилучшим из возможных приближенных значений искомого числа. Если при вычислении π с помощью цепной дроби мы остановимся на определенном этапе и «раскрутим» этот клубок в обратную сторону, получим наилучшее из возможных приближенных рациональных значений. Так, если мы остановимся на дроби [3; 7, 15], то получим
ЧТО ТАКОЕ ЦЕПНАЯ ДРОБЬ
Обучить читателя построению цепных дробей, возможно, непросто, но это поможет лучше понять материал, изложенный в книге.
Возьмем число N, которое не является целым. Если мы вычтем из этого числа его целую часть, которую будем называть [N], получим N — [N], то есть дробную часть числа N. Очевидно, что значение этого выражения лежит в интервале от 0 до 1.
Число, обратное N — [N], равно — 1/(N — [N]). Оно больше 1. Для простоты будем называть его N>1.
N — [N] = 1/N>1 или N = [N] + 1/N>1.
Отделив целую часть N>1 и повторив вышеуказанные действия, получим вторую дробь;
И так далее:
Эти действия можно повторять бесконечно. Результатом будет
Если это разложение прекратится, это будет означать, что N — рациональное число (целое или дробное), иными словами, что оно выражается в виде конечной или периодической десятичной дроби. В случае с числом к, которое является иррациональным, разложение в цепную дробь бесконечно. Последовательность, которая обычно записывается так: