Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 4
1/α = 2>4∙3>3/π
Но Гейзенберг был не единственным, кто искал связь между этими константами. В различных трудах фигурируют и другие подобные соотношения достаточно высокой точности, например:
ПЛАНЕТА МАЛЕНЬКОГО ПРИНЦА
Существует любопытный факт, который далеко не очевиден. Так как для окружности выполняется соотношение
длина/диаметр — константа,
то при увеличении знаменателя в некоторое число раз числитель увеличится в это же число раз. Проиллюстрируем это простым примером. В сказке французского писателя и авиатора Антуана де Сент-Экзюпери (1900–1944) «Маленький принц» главный герой обходит свою планету и чистит вулканы. Допустим, что он обходит всю планету по меридиану. Рост принца ровно 1 метр. Если он пройдет 1000 метров, какое расстояние пройдет его голова? Будем производить все расчеты в метрах. Так как Маленький принц проходит 1000 метров и
длина окружности = 2π∙r,
очевидно, что
пройденное расстояние = 1000 = 2π∙r.
Рост принца равен 1 метру. Приняв за С расстояние, пройденное его головой, получим
C = 2π∙(r + 1).
Вычтем первое равенство из второго. Имеем:
расстояние в метрах, пройденное головой — расстояние в метрах, пройденное ногами
С = 1000 — 2π∙(r + 1) — 2πr = 2π∙(r + 1 — r) = 2π ~ 6,28.
Разница составляет 6,28 м. Любопытно, что радиус планеты никак не влияет на это значение.
Фактически, если мы прибавим к радиусу исходной окружности 1 метр, ее длина увеличится на 6,28 м. Если бы радиус астероида составлял 1000 километров, то дополнительное расстояние, пройденное головой Маленького принца, осталось бы таким же: 6,28 м.
Обложка «Маленького принца» Антуана де Сент-Экзюпери.
Число π — не только соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Удвоенное отношение между площадью круга и площадью вписанного в него квадрата также равно π. Как нам известно из школы, площадь круга радиуса г равняется
S = πr>2.
Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, по теореме Пифагора получим
S/Площадь вписанного квадрата = πг>2/2r>2 = π/2
Но откуда мы знаем, что число π, используемое для расчета площади, — это то же самое π, с помощью которого рассчитывается длина окружности? Несомненно, это одно и то же число, однако доказать это не так просто. Строгое доказательство появилось только благодаря усилиям Архимеда.
Умы древних математиков волновала задача о построении квадрата, по площади равного данному кругу. Задача имела чисто практическое применение: площадь квадрата вычисляется элементарно, тогда как расчет площади круга был сложен и результатом являлось лишь приближенное значение. Во времена расцвета Древней Греции к этой задаче добавилось еще одно ограничение: искомый квадрат нужно было построить только с помощью циркуля и линейки. Этот метод считался «чистым», «божественным» и соответствовал духу греческой философии. В этом и заключается задача о квадратуре круга: необходимо построить искомый квадрат, используя только циркуль и линейку конечное число раз. Математики бились над задачей, решение которой всякий раз казалось столь близким и неизменно ускользало от них.