Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 41
[[N]; [N>1], [N>2], [N>3]…]
однозначно определяет N и цепную дробь, в которую раскладывается это число.
* * *
Дробь 333/106 является наилучшим рациональным приближенным значением: чтобы получить любое более точное значение, будет необходимо увеличивать знаменатель. Приближенное значение π = 333/106 в свое время получил Ривар, причем погрешность этого значения крайне мала.
Из так называемой формулы Мэчина
π/4 = 4∙arctg (1/5) — arctg (1/239)
были выведены другие формулы, которые применялись для вычисления знаков π. Позднее мы приведем две подобные формулы, которые использовал японский специалист Канада при расчетах 1241100 000 000 знаков π.
ДЖОН МЭЧИН (ОК. 1680–1751)
Этот английский математик в течение 29 лет занимал пост секретаря Лондонского королевского общества, но остался в истории благодаря единственной формуле, носящей его имя. Эту формулу в сочетании с рядом Тейлора удобно использовать для расчетов числа к, так как полученный ред сходится достаточно быстро. Сегодня известно множество формул подобного вида, например
π/4 = 183∙arctg (1/239) + 32∙arctg (1/1023) — 68∙arctg (1/5832) + 12∙arctg (1/113021) — 100∙arctg (1/6826318) — 12∙arctg (1/33366019650) + 12∙arctg (1/43599522992503626068)
которую вывел Хван Чен Ли в 2003 году.
Индийский математик Рамануджан примерно в 1910 году получил первую из этих формул (и еще 16 подобных ей):
Эта формула отличается удивительным свойством: с вычислением каждого последующего члена она дает 8 новых десятичных знаков π. Однако для доказательства этой формулы пришлось подождать три четверти столетия, так как Рамануджан не потрудился привести доказательство. Билл Госпер, один из первых хакеров в истории, использовал эту формулу для расчета 17 миллионов знаков π. Вариант
позволил находить не 8, а 14 знаков на каждом шаге вычислений. Помимо этого, вычисления стало возможным разделить между несколькими компьютерами.
Приведенная формула была получена братьями Чудновскими в 1987 году. Мы приводим ее, чтобы подчеркнуть, насколько быстро развивается все, связанное с информатикой: в XXI веке эту формулу используют для расчетов на персональных компьютерах, а не суперкомпьютерах.
Эти формулы могут показаться сложными, что не помешало им появиться в фильме «Классный мюзикл» (High School Musical): в одной из сцен они написаны на доске, причем одна формула содержит ошибку, которую исправляют прямо по ходу действия. В чувстве юмора сценаристам не откажешь.
В 1946 году с появлением ENIAC (сокр. от Electronic Numerical Integrator and Computer — электронный числовой интегратор и вычислитель) в вычислениях начали использоваться компьютеры, и все, в том числе расчет знаков π, изменилось навсегда. ENIAC был первым электронным компьютером, предназначенным исключительно для вычислений. Его ближайшим предком была ЭВМ «Колосс», использованная Аланом Тьюрингом (1912–1954) в Блетчли-парке в военных целях, а именно для расшифровки секретных сообщений немцев. ENIAC разработали Джон Пресперт Экерт (1919–1995) и Джон Уильям Мокли (1907–1980). Этот компьютер обладал колоссальными размерами и потреблял неимоверное количество электроэнергии: в нем насчитывалось почти 100000 резисторов, реле, диодов, вакуумных ламп, конденсаторов и т. д. Его вес превышал 27 тонн, а длина составляла свыше 30 метров. ENIAC выделял столько тепла, что помещение прогревалось почти до 50 °C. Этот гигант совершал 5000 операций сложения в секунду — в тысячу раз больше, чем его предшественники (ив несколько тысяч раз меньше, чем современные персональные компьютеры). Кроме этого, он мог хранить в памяти 200 цифр. ENIAC программировался с помощью множества штекеров, подобно старинным телефонным станциям. Он был столь огромен потому, что в то время не существовало ни транзисторов, ни микросхем. В нем также не использовалась современная архитектура фон Неймана, в соответствии с которой данные и программы хранятся в одной и той же памяти.