Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 6
В египетском папирусе Ахмеса (древнеегипетское учебное руководство по математике, датированное примерно 1650 г. до н. э.) также неявно упоминается π. В задаче под номером 50 из 87 говорится: «Круглое поле имеет в диаметре 9 хет (1 хет ~ 50 м). Какова площадь поля?» На современном языке площадь этого круга выражается так:
π∙(9/2)>2 = π∙(81/4)
В самом папирусе Ахмеса предложено такое решение:
(64/81)∙d>2
где d — диаметр. Так как d = 9, получим
π∙(81/4) = (64/81)∙d>2 = (64/81)∙9>2 = (64/81)∙81;
π = 256/81 ~ 3,160493827.
Согласно папирусу Ахмеса, квадрат со стороной 8 равен по площади кругу диаметра 9.
Однако это значение менее точно, чем полученное египтянами в Гизе еще в 2600 г. до н. э. Соотношение периметра и высоты пирамид Гизы равно 22/7, хотя считается, что оно подчинялось неким божественным законам, которым следовали архитекторы того времени. Многие исследователи считают это соотношение приближенным значением ТС, которое загадочным образом определили строители пирамид. Если мы допустим, что соотношение периметра и высоты пирамид не случайно, получим
π = 22/7 = 3,142…,
что соответствует π с хорошей точностью.
В Вавилонии в этом смысле прогресс шел медленнее: на глиняной табличке из древнего города Суса, датированной примерно 200 г. до н. э., приведено значение π, равное 25/8 = 3,125.
В ведических текстах Древней Индии, относящихся к IX веку до н. э., приводятся различные значения π, рассчитанные для разных практических задач. Наиболее точное значение основано на астрономических вычислениях и содержится в «Шата-патха-брахманы»: π = 339/108 = 3,1388…
История числа π: Архимед
Перенесемся в Древнюю Грецию — родину одного из величайших умов человечества, Архимеда из Сиракуз. Возможно, еще в V веке до н. э. вычислением числа π занимался Анаксагор, но письменных свидетельств этого не сохранилось. Мы не будем приводить здесь выкладки Архимеда о расчете приближенного значения π, так как они сложны и объемны. Оставим их историкам науки. Попробуем объяснить метод Архимеда простым и доступным образом, используя современное понятие предела. Представим себе многоугольник, вписанный в окружность, подобный тому, что изображен на рисунке.
Заметим, что он состоит из треугольников с основаниями Ь и высотой h. Общая площадь n треугольников, примерно равная площади круга, равна
S>n = п площадь треугольника.
Таким образом,
Перейдя к пределу и увеличивая число треугольников так, что n —>
так как
и придем к следующему заключению:
Архимеду было неизвестно современное определение предела, и он использовал так называемый метод исчерпывания, созданный Евдоксом Книдским (400–347 до н. э.). Для этого Архимед использовал вписанные и описанные многоугольники, как показано на рисунке. Окружность заключалась между вписанным и описанным многоугольниками, соответственно, была ограничена и площадь окружности. С ростом числа углов многоугольников оценка площади окружности становилась все точнее.