Гёдель доказал, что любая формальная система является неполной или противоречивой и не может являться полной и непротиворечивой одновременно. Если она является полной и любое утверждение в ней можно доказать или опровергнуть, то какое-то из ее положений противоречиво. Если же система не содержит противоречий, то, по Гёделю, она является неполной. Всегда будет существовать утверждение, которое нельзя будет доказать или опровергнуть.
КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА
Георг Кантор провел большую часть жизни в попытках доказать гипотезу, которую можно сформулировать так: пусть А — счетное множество, кардинальное число которого равно Х>0. Определим как кардинальное число Ф(А), где Ф(А) является множеством подмножеств А:
|Ф(А)| = Х>1
Обозначим количество вещественных чисел, или кардинальное число множества вещественных чисел, за с и назовем его континуумом. Кантор пришел к следующему неравенству:
Х>0 < c < Х>1.
Он был точно уверен, что между Х>0 и Х>1 не может находиться никакого кардинального числа, так как с = Х>1. Это так называемая континуум-гипотеза.
В 1963 году американский математик Пол Коэн (1934–2007) доказал, что эта гипотеза является недоказуемой, поэтому ее можно считать истинной или ложной. При этом в общей математике ничего не изменится.
* * *
Гёдель поставил нас в очень интересное положение. Бертран Рассел в шутку говорил, что чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. Рёдель окончательно испортил дело. Мы также не знаем, сможем ли мы когда-либо что-либо доказать. Теорема Гёделя не выдумка, так как уже найдены некоторые недоказуемые утверждения, среди которых — континуум-гипотеза.
Очевидно, что недоказуемые утверждения не следует искать среди общеупотребительных. Если недоказуемость какого-либо утверждения как-то повлияет на другие области стандартной математики (яркий пример — теорема Ферма), то маловероятно, что мы имеем дело с гёделевским утверждением.
Вспомним последние вопросы, которые перед нами поставило число π. Есть ли на них ответ? На данный момент нет. Будет ли он получен в будущем? Возможно.
Мы не заявляем, что многие утверждения о π являются недоказуемыми. Многие полагают, что эти утверждения будут недоказуемы, если их доказательство или опровержение не повлияет на «стандартную» математику.
Допустим, что некоторые утверждения о числе π связаны с бесконечностью — весьма тонкой областью, расположенной на переднем рубеже математики. Именно в этой области выводы Гёделя уже получили подтверждение.