Вернемся ненадолго к Карлу Сагану и его роману «Контакт». В этом романе инопланетяне поручают доктору Эрроуэй найти некое сообщение предположительно божественного происхождения, которое с момента появления Вселенной зашифровано в самой природе, точнее в знаках π (причем записанных по основанию И, но не будем углубляться в детали). Начиная с определенного знака, спустя много миллионов цифр после запятой, цифры складываются в четкую последовательность из нулей и единиц. Если расположить их определенным образом, то получится изображение квадрата со вписанной в него окружностью. Является ли существование подобного квадрата доказательством существования Творца?
Если сложить первые 20 цифр π, получим 100. Если сложить первые 144 цифры, получим апокалиптическое число зверя 666 из «Откровения Иоанна Богослова». Но мы не вправе считать подобные совпадения проявлением чего-то высшего, поскольку они зависят от выбранной системы счисления, которая целиком и полностью придумана человеком.
Так, Дэвид Чамперноун (1912–2000) придумал нормальное число по основанию 10. Он обнаружил это число в 21 год, еще не закончив обучение. Это пример трансцендентного числа, которое одновременно является нормальным и универсальным. Оно определяется очень просто: достаточно записать по порядку все натуральные числа:
С>10 = 0,123456789101112131415161π81920212223…
Нет никаких сомнений, что это число является универсальным, так как в десятичной записи числа Чамперноуна встречается любая последовательность из N цифр. Оно обозначается С>10, где 10 означает десятичную систему счисления. Кроме этого, существует бесконечное множество вариантов С>10, обладающих теми же свойствами.
Оставим дальнейшее рассмотрение этого вопроса читателю в качестве упражнения. Следует добавить, что так называемое число Коупленда — Эрдёша, формируемое аналогичным способом, но только из простых чисел, также является нормальным (по основанию 10):
0,235711131719232931…
С определенной точки зрения особенность числа π, о которой пишет Саган, не является чем-то уникальным. Числа, содержащие в себе круг, образованный нулями и единицами, встречаются не так уж редко. Фактически существует бесконечное множество таких чисел, но они не связывают между собой длину и диаметр окружности.
Является ли π универсальным числом? Неизвестно. Известно лишь, что все универсальные числа являются нормальными, но это нисколько не помогает найти ответ на этот вопрос.
Что можно и что нельзя доказать
Чешский математик и логик Курт Гёдель (1906–1978) доказал утверждение, которое смущает умы и ставит пределы человеческому знанию. Представим логическую систему с теоремами и аксиомами, которая также описывает элементарные арифметические операции. Например, это может быть обычная математика. Можно ли представить, что она содержит противоречие? «Что за ерунда!» — скажет большинство. Возможно ли, что она является неполной? Может ли она содержать формулы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть методами этой логической системы? Большинство также скажет, что это невозможно. Как может быть неполной область знаний, содержащая правила элементарной арифметики? Любая теорема верна либо неверна. Возможно, чтобы окончательно узнать это для некоторых теорем, потребуется много времени, но однажды они будут доказаны либо опровергнуты. Наглядный пример этому — теорема Ферма: прошло несколько веков, прежде чем было получено ее доказательство.