Фейнмановские лекции по физике 2 (Фейнман) - страница 38

точка. Он поворачивается, покачивается и все же летит по параболе; вы можете в этом убедиться. Какая, же точка тела описывает параболу? Ну разумеется, не угол кубика, потому что он поворачивается, не конец стержня, не его середина и не центр кубика. Но все-таки что-то движется по параболе, существует некий эффек­тивный «центр», который движется по параболе. Таким образом, первая теорема о сложных объектах говорит, что сущест­вует какая-то «средняя» точка, вполне определенная математи­чески, которая движется по параболе. Точка эта не обяза­тельно находится в самом теле, она может лежать и где-то вне его.

Это так называемая теорема о центре масс, и доказывается она следующим образом.

Любой объект можно рассматривать как множество малень­ких частичек, атомов, связанных различными силами. Пусть iобозначает номер одной из таких частиц (их страшно много, по­этому i может быть равно, например, 10^>23). Сила, действующая на i-ю частицу, равна массе, умноженной на ускорение этой частицы:

В последующих главах наши движущиеся объекты и все их части будут двигаться со скоростями, много меньшими, чем скорость света, и поэтому для всех величин мы будем рас­сматривать только нерелятивистское приближение. Масса при этих условиях будет постоянна, так что

Если теперь сложить все силы, действующие на частицы, т. е. сложить все F_>i- со всеми значениями индекса, то в результате мы должны получить полную силу F. Складывая же правые части уравнения (18.2) для всех частиц и вспоминая, что про­изводная от суммы равна сумме производных, получаем

Поэтому полная сила равна второй производной от суммы произведений масс частиц на их положение.

Но полная сила, действующая на все частицы,— это то же самое, что и внешняя сила. Почему? Да потому что, какие бы силы ни действовали между частицами, пусть это будет притя­жение или отталкивание, или атомные силы, все равно, когда мы складываем их вместе и применяем Третий закон Ньютона, по которому силы действия и противодействия между любыми двумя частицами равны друг другу, то эти взаимные силы сокращаются друг с другом и в результате останутся только силы, действующие со стороны атомов, находящихся вне тела. Так что, если уравнение (18.3) представляет собой сумму по некоторому числу частиц, образующих наш объект, то внешняя сила, действующая на него, равна просто сумме всех сил, действующих на все частицы, образующие этот объект. Урав­нение (18.3) неплохо было бы записать в виде полной массы тела, умноженной на какое-то ускорение. Сделать это можно. Пусть