Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство — особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент — самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трехмерном пространстве он — вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) дополнительно к трем плоскостям xy, yzиzxпоявятся также плоскости tx, tyи tz. Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного вектора невозможно.
Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих математических рассмотрениях совершенно не существенно то, что х — координата, a F— сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты х подставим x-компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину axb>y-a>yb>x, где а и b — векторы, и назвать ее z-компонентой некоторой новой величины c>z, то эта величина будет вектором с. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора с с векторами а и b придумать какое-то математическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначением: c=aXb. Таким образом, в дополнение к обычному скалярному произведению в векторном анализе мы получили произведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись c=aXb это то же самое, что
c>x=a>yb>z-а>гb>у,
c>y=a>zb>x-a>xb>z, (20,9)
с>г=а>хb>у-а>уb>х.
Если переменить порядок векторов а и b, т. е. вместо aXbвзять bXa, то знак вектора с при этом изменится, ибо c>zравно b>ха>у-b>уа>х. Векторное произведение поэтому не похоже на обычное умножение, для которого аb=bа. Для векторного произведения bXa=-aXb. Отсюда немедленно следует, что если а=b, то векторное произведение равно нулю, т. е. аXа=0.
Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов а, b и с. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить следующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор с перпендикулярен как к вектору а, так и к вектору b. (Попробуйте вычислить сXа и вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора с оказывается равной произведению абсолютных величин векторов