и
а, умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор с? Вообразите, что мы доворачиваем вектор
а до вектора
b в направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с право-винтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении вектора с. То, что мы берем
правовинтовой болт, а не
левовинтовой,— простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов
а и
bвектор нового типа
аX
b по своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов
а и
b, кроме того, есть специальное название: мы называем их
полярными векторами. Примерами таких векторов служат координата
r, сила
F, импульс
р, скорость
v, электрическое поле
Е и т. д. Все это обычные полярные векторы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются
аксиальными векторами, или
псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, могут служить момент силы
t и момент импульса
L. Кроме того, оказывается, что угловая скорость w, как и магнитное поле В, тоже псевдовектор.
Чтобы расширить наши сведения о математических свойствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпишем все правила с участием векторного произведения. Впоследствии мы будем ими пользоваться. Эти правила таковы:
а) aX (b+c)=aXb+aXc,
б) (aa)Xb=a (aXb),
в) a· (bXc)=(aXb)·c, (20.10)
г) aX (bXc)=b(a·c)—c(a·b),
д) аXа=0,
е) а·(aXb)=0.
§ 2. Уравнения вращения в векторном виде
Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конечно, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сразу же видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу
t=rXF. (20.11)
Это просто краткая запись трех уравнений: т>x=yF>z-zF>yи т. д. С помощью того же символа можно представить момент количества движения одной частицы в виде векторного произведения вектора расстояния от начала координат (радиус-вектора) на вектор импульса
L=rXp. (20.12)
Векторная форма динамического закона вращения в трехмерном пространстве напоминает уравнение Ньютона F=dp/dt; именно вектор момента силы равен скорости изменения со временем вектора момента количества движения
t=dL/dt. (20.13)
Если мы сложим (20.13) для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующий на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения