Фейнмановские лекции по физике 5 (Фейнман) - страница 21

x-компонента СТ показывает, насколько быстро Т изменяется в

x-направлении. А куда направлен вектор СТ? Мы знаем, что скорость изменения Т в каком-то направлении — это компонента СТ в этом направлении [см. (2.15)]. Отсюда следует, что направление СТ — это то, по которому СТ обла­дает самой длинной проекцией; иными словами, то, по которому СТ меняется быстрее всего. Направление градиента Т — это направление быстрейшего подъема величины Т.

§ 5. Операции с С

Можно ли с векторным оператором С производить другие алгебраические действия? Попробуем скомбинировать его с век­тором. Из двух векторов можно составить скалярное произве­дение, причем двоякого рода:

(Вектор)·С или С· (Вектор).

Первое выражение пока что ничего не означает — это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он Судет действовать. А второе произведение — это некое скаляр­ное поле (потому что А·В — всегда скаляр).

Попробуем составить скалярное произведение С на извест­ное поле, скажем на h. Распишем покомпонентно

(2.32)

(2.33)

Эта сумма инвариантна относительно преобразования координат. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы

(2.34)

а это — то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т. е.

(2.35)

в любой точке пространства. Итак, С·h — это скалярное поле, и оно должно представить собой некоторую физическую вели­чину. Вы должны понимать, что комбинация производных в С·h имеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем dh_>y/dx, которые не яв­ляются ни скалярами, ни компонентами векторов.

Скалярная величина С· (Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,

С·h = div h = «Дивергенция h». (2.36)

Можно было бы, как и для СT, описать физический смысл С·h. Но мы отложим это до лучших времен.

Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора С. Как насчет векторного произведения? Можно на­деяться, что

(2.37)

Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обыч­ным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:

(2.38)

Подобно этому,

(2.39)

(2.40)

Комбинацию СXh называют «ротор» (пишут rot h), или (редко) «вихрь h» (пишут curl h). Происхождение этого назва­ния и физический смысл комбинации мы обсудим позже.

В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит С:

СТ = grad T =Вектор,

С·h=divh = Скаляр,

СXh = roth = Вектор.

Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.