Фейнмановские лекции по физике 5 (Фейнман) - страница 26

hкак физическую величину, зависящую от по­ложения в пространстве, а не как заданную математически функцию трех переменных. Когда h«дифференцируется» по х, у и zили по х', у' и z', то математическое выражение для hдолжно быть предварительно выраже­но в виде функции соответствующих переменных, Поэтому в новой си­стеме координат мы не отмечаем hштрихом.

Глава 3

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ

§1.Векторные интег­ралы; криволи­нейный интеграл от ▽ш

§2.Поток векторного поля

§З.Поток из куба; теорема Гаусса

§4.Теплопроводность; уравнение диффу­зии

§5.Циркуляция векторного поля

§6. Циркуляция по квадрату; теорема Стокса

§7. Поля без роторов и поля без дивер­генций

§8.Итоги

§ 1. Векторные интегралы;

криволинейный интеграл от Сш

В предыдущей главе мы видели, что брать производные от поля можно по-разному. Одни приводят к векторным полям; другие — к скалярным. Хотя формул было выведено до­вольно много, все их можно подытожить одним правилом: операторы д/дх, д/ду и д/dzсуть три компоненты векторного оператора у. Сейчас нам хотелось бы лучше разобраться в значении производных поля. Тогда мы легче почувствуем смысл векторных уравнений поля.

Мы уже говорили о смысле операции градиен­та (С на скаляр). Обратимся теперь к смыслу опе­раций вычисления дивергенции (расходимости) и ротора (вихря). Толкование этих величин лучше всего сделать на языке векторных интегралов и уравнений, связывающих эти интегралы. Но уравнения эти, к несчастью, нельзя вывести из векторной алгебры при помощи каких-либо легких подстановок, так что вам придется учить их как что-то новое. Одна из этих инте­гральных формул практически тривиальна, а другие две — нет. Мы выведем их и поясним их смысл. Эти формулы фактически являются математическими теоремами. Они полезны не только для толкования смысла и содержания понятий дивергенции и ротора, но и при раз­работке общих физических теорий. Для теории полей эти математические теоремы — все равно, что теорема о сохранении энергии для меха­ники частиц. Подобные теоремы общего харак­тера очень важны для более глубокого пони­мания физики. Но вы увидите, что, за немногими простыми исключениями, они мало что дают для решения задач. К счастью, как

раз в начале нашего курса многие простые задачи будут решаться именно этими тремя интегральными формулами.

Фиг. 3.1. Иллюстрация уравнения (3.1).

Вектор Сш вычисляется на линей­ном элементе ds.

Позже, однако, когда задачи станут потруднее, этими простыми методами мы больше обойтись не сможем.

Мы начнем с той интегральной формулы, куда входит гра­диент. Мысль, которая содержится в ней, очень проста: раз градиент есть быстрота изменения величины поля, то интеграл от этой быстроты даст нам общее изменение поля. Пусть у нас есть скалярное поле ш