Лейбниц упрямо приписывал полубожественные свойства всем новым математическим понятиям, о которых ему становилось известно. Например, таинственные мнимые числа он считал возвышенными и прекрасными, «амфибиями бытия с небытием».
Несносный ребенок
О детстве Карла Фридриха Гаусса (1777–1855), который был вундеркиндом, обычно рассказывают такую историю. Когда ему было 10 лет, учитель, желая немного передохнуть, дал Гауссу и его одноклассникам задачу, которая заняла бы детей надолго: нужно было найти сумму всех чисел от 1 до 100:
1 + 2 + 3 +… + 98 + 99 + 100.
Спустя несколько минут маленький Гаусс поднялся с места и протянул учителю грифельную доску с ответом: 5050. Как несносный ребенок смог так быстро справиться с задачей? Гаусс заметил, что если записать числа исходного ряда друг под другом справа налево и слева направо,
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1,
то сумма чисел в каждой паре будет равна:
1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 =… = 98 + 3 = 99 + 2 = 100 + 1 = 101.
Сколько всего таких пар? 100. Так как искомая сумма была в два раза меньше, ответ к задаче таков:
(100·101)/2 = 50·101 = 5050.
Обычно здесь и заканчивается легенда об одаренном ребенке с фантастическими способностями — наверное, для того, чтобы понять ее могли все, даже те, кто далеко отстал от Гаусса по своим способностям.
На самом же деле задача была еще сложнее: учитель предложил ученикам найти сумму первых 100 чисел ряда:
81297 + 81495 + 81693 + … —
каждое слагаемое отличалось от предыдущего на 198. Получить этот результат уже не так просто — выходит, Гаусс был еще умнее, чем гласит легенда.
Ферма и Куммер
В 1847 году французский математикГабриель Ламе (1795–1870) в присутствии множества коллег восторженно объявил, что доказал теорему, известную нам как великая теорема Ферма. При этом Ламе не преминул выразить благодарность вдохновившему его Жозефу Лиувиллю (1809–1882), который присутствовал здесь же.
По словам Ламе, без неоценимой помощи Лиувилля он не смог бы… и прочая, и прочая. В ответ совершенно пораженный Лиувилль обратил внимание собравшихся на одну небольшую деталь: доказательство Ламе было верно тогда и только тогда, когда выполнялось одно условие: целые числа определенного класса (далее мы определим их подробнее), как и обычные целые числа, можно разложить на множители единственным способом. Следует отметить, что в этом сомневались немногие. Ламе попытался найти доказательство для этого недостающего звена, но, к его разочарованию, сделать этого не удалось. Как сказал музыкальный критик об одном из произведений Дебюсси: «Его музыка не слишком шумна, но этот шум крайне неприятен». Ламе терял терпение, не в силах справиться с каким-то пустяком.