Евклид. Геометрия (Carrera) - страница 40
В этом доказательстве Евклид, возможно, использовал предложение 4 из первой книги (критерий равенства по двум сторонам и углу), которое устанавливает равенство треугольников BAI и DCJ. Для этого ему были необходимы некоторые свойства, вытекающие из постулата о параллельных (см., в частности, предложения 34 и 29 первой книги). После того как Евклид пришел к этому результату, он мог использовать метод танграма, при котором части не равны друг другу, но имеют одинаковую площадь. В этом и состоял принцип обобщенного танграма, который Евклид использовал с большим мастерством. Предложение 37 первой книги является простым выводом из предыдущих, поскольку сводится к доказательству того, что площадь треугольников равна половине площади параллелограмма (см. рисунок 6).
Разум не сосуд, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь.
Плутарх
Евклид, как до него и другие древнегреческие математики, вывел геометрию на новый уровень и придал ей большую ясность, обобщив простые и очевидные результаты. В данном случае он установил, правда не объясняя это отдельно, а сразу используя в своих доказательствах, что площади можно высчитывать при помощи различных по форме фигур (параллелограммов и треугольников).
РИС. 6
Еще одно геометрическое понятие, позволившее Евклиду использовать обобщенный метод танграма,— гномон. Геродот так говорит о нем во второй книге «Истории»:
«Сесострис разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать.
Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу.
Ведь «полос» и «гномон», так же как и деление дня на 12 частей, эллины заимствовали от вавилонян».
РИС. 7
Евклид дал определение гномону в книге II, хотя уже в книге I установил характеристики, благодаря которым он имеет такое большое значение.
Книга II, определение 2. Во всякой образованной параллельными линиями площади каждый из расположенных на ее диаметре параллелограммов вместе с двумя дополнениями будем называть гномоном.
Его интересная особенность:
Книга I, предложение 43. Во всяком параллелограмме дополнения расположенных по диаметру параллелограммов равны между собой.