Евклид. Геометрия (Carrera) - страница 44

РИС. 16

В заключении «Начал» рассматривается построение Платоновых тел и доказывается, что их существует только пять. В «Тимее» Платон классифицирует природные элементы по пяти телам (см. рисунок 17): тетраэдр он относит к огню из-за его легкости; куб, или гексаэдр, — к земле из-за их стабильности; октаэдр — к воздуху из-за его неустойчивости; икосаэдр — к воде из-за текучести, а додекаэдр — к элементу космоса, пятому, божественному элементу.

РИС. 17

Пять Платоновых тел. Слева направо: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр.

Книга XIII, предложение 18. Кроме упомянутых пяти тел невозможно построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу многоугольниками.

Доказательство. Представим, что на листе бумаги стоит точка. Нарисуем вокруг нее 3,4 или 5 равносторонних треугольников, 3 или 4 квадрата и 3 пятиугольника. Если посчитать градусы углов, становится понятно, что другие фигуры невозможны. Следовательно, не могут существовать другие правильные многоугольники, кроме упомянутых выше.

Существует мнение, что золотой прямоугольник встречается во многих произведениях искусства (в частности, в афинском Парфеноне и «Менинах» Веласкеса). Но даже когда искусство прервало классические традиции, как в случае кубизма, прямоугольник остался важным структурным элементом картины. Парфенон — один из самых известных дорических храмов, сохранившихся до наших дней; он был построен между 447 и 432 годами до н.э. Его размеры составляют примерно 69,5 м в длину, 30,9 м в ширину, высота колонн —10,4 м. Храм посвящен богине Афине, которую жители города считали своей покровительницей. А полотно Веласкеса было написано в 1656 году и его размеры — 318 х 276 см. Как видно на рисунках, пропорции их основных элементов образуют золотые прямоугольники. Необходимо уточнить, что хотя эти пропорции и не были результатом специальных построений, все же вряд ли они получились по чистой случайности.

Но существуют ли пять Платоновых тел? Построить первые три относительно легко, а в случае с икосаэдром и додекаэдром все не так просто. Евклид в предложениях с 13 по 17 книги XIII объясняет эти фигуры и вычисляет их стороны

в соответствии с диаметром сферы, в которую они вписаны. Задача сводится к тому, чтобы построить круг, заключающий одну из сторон многоугольника. Это построение является результатом анализа. В качестве примера рассмотрим построение стороны правильного тетраэдра (см. рисунок).