Как мы уже говорили, V книга «Начал» не зависит от предыдущих, хотя после установления теории отношений между величинами они становятся необходимы для применения общей теории геометрии. Этот метод практически единогласно приписывается Евдоксу Книдскому.
ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Первая проблема — похожая на заключенную в понятии прямой, но более сложная — кроется в самом термине «величина». Евклид использовал его, нигде не объясняя его значения. Любопытно, что Архимед, напротив, избегал этого термина и говорил только о «прямых, поверхностях и телах». Отсутствие определения величины вызвало серьезные философские споры, оказавшие влияние и на математику. Главный вопрос, вокруг которого развернулась дискуссия, звучал так: можно ли разделять величины до бесконечности? Самый заметный вклад в его решение внес Зенон Элейский со своими апориями, или парадоксами.
Зенон предложил собственную формулировку вопроса о величинах, в которой рассматривал время и пространство: они делимы до бесконечности или же состоят из неделимых мгновений и промежутков? Для древнегреческой философии того времени обе гипотезы были неприемлемы. Первая подразумевает, что мы должны принять актуальную бесконечность, которую, как мы уже знаем, Аристотель отверг окончательно и бесповоротно в IV веке до н. э., а во второй кроется парадокс: каким образом, соединяя «мгновения» или «неделимые промежутки», которые не содержат в себе ни времени, ни пространства, то есть нулевые, мы получаем некий временной или пространственный промежуток, отличный от нуля? Зенон пошел еще дальше и сформулировал четыре парадокса, о которых рассказывается в «Физике» Аристотеля. Два из них вытекают из гипотезы о том, что время дискретно и состоит из частей, не содержащих времени, а два других — из представления, согласно которому и время, и расстояние можно дробить до бесконечности. Рассмотрим два парадокса — по одному каждого типа.
Я постоянно встречаю людей, которые сомневаются, обычно без всякой на то причины, в своих математических способностях. В первую очередь надо выяснить, понимают ли они что-нибудь в геометрии. Не важно, что они не любят или что для них сложны другие области математики.
Джон Литлвуд
АПОРИЯ «СТРЕЛА»
Вспомним стрелу, выпущенную Улиссом, чтобы доказать, что он и есть муж Пенелопы и готов защитить ее от разгула женихов. За мгновение своего полета стрела не двигается, потому что если бы она двигалась, то ей потребовалось бы полмгновенья, чтобы пройти половину этого отрезка. Но этой половины не существует, поскольку мы предполагаем, что мгновенье — это минимальная временная единица. Значит, на самом деле стрела не двигается. Но если она не двигается «ни в один миг своего полета», то как она попала из лука в грудь Антиноя — первого жениха, убитого Улиссом? Можно было бы ответить, что за мгновение стрела передвигается на невидимое расстояние, то есть расстояние без расстояния. Но это вернуло бы нас к исходной точке: как можно получить расстояние, складывая «невидимые расстояния» (то есть нулевые)?