Для того чтобы понять книги VII, VIII и IX, необходимо владеть некоторыми основными понятиями. В книге VII Евклид дает все арифметические определения, которыми пользуется позже, но не представляет ни одного постулата. Самыми важными определениями являются следующие.
1 .Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.
2. Число — множество, составленное из единиц.
3. Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет большее.
4. «Части же — если оно его не измеряет».
5. Кратное же — большее от меньшего, если оно измеряется меньшим.
6. Четное число есть делящееся пополам.
7. Нечетное число есть [...] отличающееся на единицу от четного числа.
8. Четно-четное число есть четным числом измеряемое четное число раз.
9. Четно же нечетное есть четным числом измеряемое нечетное число раз.
10. Нечетно-четное есть нечетным числом измеряемое четным числом раз.
12. Простое число есть измеряемое только единицей.
13. Простые между собой числа суть измеряемые только единицей как общей мерой.
14. Составное число есть измеряемое некоторым числом.
21. Числа будут пропорциональны, когда первое от второго, а третье от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или теми же частями.
23. Совершенное число есть то, которое будет равным своим частям (делителей).
Первое определение является чисто философским. В нем отрицается числовая природа единицы, хотя Евклид использо вал ее как число — например, в следующем определении. Он также различает понятия «часть» (2 — часть 6, так как является его делителем) и «части» (5 — «части» 6 по противоположной причине). Здесь наблюдается аналогия с книгой V, хотя в ней вместо «части» говорится об «отношении», гораздо более сложном понятии. «Части» — основа многих арифметических доказательств Евклида: он рассматривает их в книге VII и прибегает к ним в книгах VIII и IX. Евклид также устанавливает различие между четным числом (N = n + n = 2n) и нечетным (N = 2n + 1) и предлагает классификацию чисел (не очень точную) на основе формул, которые мы сегодня бы записали так:
2>m, 2>m(2n + + 1), (2m +1) (2n + 1). Самые важные понятия книги VII — понятие «первого» (простого) числа, «составного» и чисел, «первых между собой». Определение 20 сегодня выглядело бы так:
m/n = p/q
только если существует такое λ Є Q, при котором если n = λ х m, то q = λ х р.
В заключение Евклид приводит довольно спорное определение совершенного числа, которое вряд ли принадлежит пифагорейской школе VI века. Некоторые приписывают его Гиппократу Хиосскому.
Математика — царица наук, а арифметика — царица математики.